Как решать выражения с разными знаками. Сложение чисел с разными знаками — Гипермаркет знаний
В этой статье мы разберемся со сложением чисел с разными знаками . Здесь мы приведем правило сложения положительного и отрицательного числа, и рассмотрим примеры применения этого правила при сложении чисел с разными знаками.
Навигация по странице.
Правило сложения чисел с разными знаками
Положительные и отрицательные числа можно трактовать как имущество и долг соответственно, при этом модули чисел показывают величину имущества и долга. Тогда сложение чисел с разными знаками можно рассматривать как сложение имущества и долга. При этом понятно, что если имущество меньше долга, то после взаимозачета останется долг, если имущество больше долга, то после взаимозачета останется имущество, а если имущество равно долгу, то после расчетов не останется ни долга, ни имущества.
Объединим приведенные выше рассуждения в правило сложения чисел с разными знаками . Чтобы сложить положительное и отрицательное число, надо:
- найти модули слагаемых;
- сравнить полученные числа, при этом
- если полученные числа равны, то исходные слагаемые являются противоположными числами, и их сумма равна нулю,
- если же полученные числа не равны, то надо запомнить знак числа, модуль которого больше;
- из большего модуля вычесть меньший;
- перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.
- Плюс на минус дает минус;
- Минус на минус дает плюс.
- Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
- Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
- Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.
Озвученное правило сводит сложение чисел с разными знаками к вычитанию из большего положительного числа меньшего числа. Также понятно, что в результате сложения положительного и отрицательного числа может получиться или положительное число, или отрицательное число, или нуль.
Также заметим, что правило сложения чисел с разными знаками справедливо для целых чисел, для рациональных чисел и для действительных чисел.
Примеры сложения чисел с разными знаками
Рассмотрим примеры сложения чисел с разными знаками по правилу, разобранному в предыдущем пункте. Начнем с простого примера.
www.cleverstudents.ru
Сложение и вычитание дробей
Дроби - это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.
Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.
Задача. Найдите значение выражения:
Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:
Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители - и все.
Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.
Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.
Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!
Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где - плюс.
Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель - и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:
Разберем все это на конкретных примерах:
В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:
Что делать, если знаменатели разные
Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.
Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю», поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:
В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.
Что делать, если у дроби есть целая часть
Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей - это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.
Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:
Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните - обязательно повторите. Примеры:
Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:
Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.
Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.
Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры - и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.
Резюме: общая схема вычислений
В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:
Задача 1. Игрок записывал выигрыш знаком + и проигрыш знаком –. Найти результат каждой из следующих записей: a) +7 руб. +4 руб.; b) –3 руб. –6 руб.; c) –4 р. +4 р.; d) +8 р. –6 р.; e) –11 р. +7 р.; f) +2 р. +3 р. –5 р.; g) +6 р. –4 р. +3 р. –5 р. +2 р. –6 р.
Запись a) указывает, что игрок сначала выиграл 7 руб. и затем еще выиграл 4 р., – итого выиграл 11 р.; запись c) указывает, что сначала игрок проиграл 4 р. и затем выиграл 4 р., – потому общий результат = 0 (игрок ничего не сделал); запись e) указывает, что игрок сначала проиграл 11 руб., потом выиграл 7 руб., – проигрыш пересиливает выигрыш на 4 руб.; следовательно, в общем, игрок проиграл 4 руб. Итак, имеем право для этих записей записать, что
a) +7 р. +4 р. = +11 р.; c) –4 р. +4 р. = 0; e) –11 р. + 7 р. = –4 руб.
Так же легко разбираются и остальные записи.
По своему смыслу эти задачи сходны с теми, которые в арифметике решаются с помощью действия сложения, поэтому и здесь мы станем считать, что везде приходится для нахождения общего результата игры складывать относительные числа, выражающие результаты отдельных игр, например, в примере c) относительное число –11 руб. складывается с относительным числом +7 руб.
Задача 2. Кассир записывал приход кассы знаком +, а расход знаком –. Найти общий результат каждой из следующих записей: a) +16 р. +24 р.; b) –17 р. –48 р.; c) +26 р. –26 р.; d) –24 р. +56 р.; e) –24 р. +6 р.; f) –3 р. +25 р. –20 р. +35 р.; g) +17 р. –11 р. +14 р. –9 р. –18 р. +7 р.; h) –9 р –7 р. +15 р. –11 р. +4 р.
Разберем, напр., запись f): сосчитаем сперва весь приход кассы: по этой записи было 25 руб. приходу, да еще 35 руб. приходи, итого приходу было 60 руб., а расходу было 3 руб., да еще 20 руб., итого было 23 руб. расходу; приход превышает расход на 37 руб. След.,
– 3 руб. + 25 руб. – 20 руб. + 35 руб. = +37 руб.
Задача 3. Точка колеблется по прямой, начиная от точки A (черт. 2).
Черт. 2.
Перемещение ее вправо обозначаем знаком + и перемещение ее влево знаком –. Где будет находиться точка после нескольких колебаний, записанных одною из следующих записей: a) +2 дм. –3 дм. +4 дм.; b) –1 дм. +2 дм. +3 дм. +4 дм. –5 дм. +3 дм.; c) +10 дм. –1 дм. +8 дм. –2 дм. +6 дм. –3 дм. +4 дм. –5 дм.; d) –4 дм. +1 дм. –6 дм. +3 дм. –8 дм. +5 дм.; e) +5 дм. –6 дм. +8 дм. –11 дм. На чертеже дюймы обозначены отрезками, меньшими настоящих.
Последнюю запись (e) разберем: сначала колеблющаяся точка передвинулась вправо от A на 5 дм., потом передвинулась влево на 6 дм., – в общем, она должна оказаться находящеюся влево от A на 1 дм., потом подвинулась вправо на 8 дюйм., след., теперь она находится вправо от A на 7 дм., а затем подвинулась влево на 11 дм., следовательно, она находится влево от A на 4 дм.
Остальные примеры предоставляем разобрать самим учащимся.
Мы приняли, что во всех разобранных записях приходится складывать записанные относительные числа. Поэтому условимся:
Если несколько относительных чисел написаны рядом (с их знаками), то эти числа надо сложить.
Разберем теперь главные случаи, встречающиеся при сложении, причем возьмем относительные числа без названий (т. е. вместо того, чтобы говорить, напр., 5 руб. выигрышу, да еще 3 руб. проигрышу, или точка переместилась на 5 дм. вправо от A, да потом еще на 3 дм. Влево, станем говорить 5 положительных единиц, да еще 3 отрицательных единиц …).
Здесь надо сложить числа, состоящие из 8 полож. единиц, да еще из 5 полож. единиц, получим число, состоящее из 13 полож. единиц.
Итак, + 8 + 5 = 13
Здесь надо сложить число, состоящее из 6 отрицат. единиц с числом, состоящим из 9 отрицат. единиц, получим 15 отрицат. единиц (сравнить: 6 рублей проигрыша и 9 руб. проигрыша – составят 15 руб. проигрыша). Итак,
– 6 – 9 = – 15.
4 рубля выигрыша да затем 4 руб. проигрыша, в общем, дадут нуль (взаимно уничтожается); также, если точка продвинулась от A сначала вправо на 4 дм., а потом влево на 4 дм., то она окажется опять в точке A и, след., окончательное ее расстояние от A равно нулю, и вообще мы должны считать, что 4 полож. единицы, да еще 4 отрицательных единицы, в общем, дадут нуль, или взаимно уничтожатся. Итак,
4 – 4 = 0, также – 6 + 6 = 0 и т. д.
Два относительных числа, имеющие одинаковую абсолютную величину, но различные знаки, взаимно уничтожаются.
6 отрицат. единиц уничтожатся с 6 положит. единицами, да еще останется 3 полож. единицы. Итак,
– 6 + 9 = + 3.
7 полож. единиц уничтожатся с 7 отрицат. единицами, да еще останется 4 отрицат. единицы. Итак,
7 – 11 = – 4.
Рассматривая 1), 2), 4) и 5) случаи, имеем
8 + 5 = + 13; – 6 – 9 = – 15; – 6 + 9 = + 3 и
+ 7 – 11 = – 4.
Отсюда видим, что надо различать два случая сложения алгебраических чисел: случай, когда слагаемые имеют одинаковые знаки (1-й и 2-й) и случай сложения чисел с разными знаками (4-й и 5-й).
Не трудно теперь увидать, что
при сложении чисел с одинаковыми знаками следует сложить их абсолютные величины и написать их общий знак, а при сложении двух чисел с разными знаками надо вычесть арифметически их абсолютные величины (из большей меньшую) и написать знак того числа, у которого абсолютная величина больше.
Пусть требуется найти сумму
6 – 7 – 3 + 5 – 4 – 8 + 7 + 9.
Мы можем сначала сложить все положительные числа + 6 + 5 + 7 + 9 = + 27, потом все отрицат. – 7 – 3 – 4 – 8 = – 22 и затем полученные результаты между собою + 27 – 22 = + 5.
Можем также воспользоваться здесь тем, что числа + 5 – 4 – 8 + 7 взаимно уничтожаются и тогда остается сложить лишь числа + 6 – 7 – 3 + 9 = + 5.
Другой способ обозначения сложения
Можно каждое слагаемое заключать в скобки и между скобками написать знак сложения. Напр.:
(+7) + (+9); (–3) + (–8); (+7) + (–11); (–4) + (+5);
(–3) + (+5) + (–7) + (+9) + (–11) и т. п.
Мы можем, согласно предыдущему, сразу написать сумму, напр. (–4) + (+5) = +1 (случай сложения чисел с разными знаками: надо из большей абсолютной величины вычесть меньшую и написать знак того числа, у которого абсолютная величина больше), но можем также переписать сначала то же самое без скобок, пользуясь нашим условием, что если числа написаны рядом с их знаками, то эти числа надо сложить; след.,
чтобы раскрыть скобки при сложении положительных и отрицательных чисел, надо слагаемые написать рядом с их знаками (знак сложения и скобки опустить).
Напр.: (+ 7) + (+ 9) = + 7 + 9; (– 3) + (– 8) = – 3 – 8; (+ 7) + (– 11) = + 7 – 11; (– 4) + (+ 5) = – 4 + 5; (– 3) + (+ 5) + (– 7) + (+ 9) + (– 11) = – 3 + 5 – 7 + 9 – 11.
После этого можно полученные числа сложить.
В курсе алгебры следует обратить особенное внимание на уменье раскрывать скобки.
Упражнения.
1) (– 7) + (+ 11) + (– 15) + (+ 8) + (– 1);
В этом материале мы расскажем, как правильно выполнять сложение отрицательного и положительного числа. Сначала мы приведем основное правило такого сложения, а потом покажем, как оно применяется при решении задач.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Основное правило сложения положительных и отрицательных чисел
Мы уже говорили ранее, что положительное число можно рассматривать как доход, а отрицательное – как убыток. Чтобы узнать величину дохода и расхода, надо смотреть на модули этих чисел. Если в итоге окажется, что наши расходы превышают доходы, то после их взаимного учета мы останемся должны, а если наоборот, то мы останемся в плюсе. Если же расходы равны доходам, то у нас будет нулевой остаток.
Используя приведенные выше рассуждения, можно вывести основное правило сложения чисел с разными знаками.
Определение 1
Для сложения положительного числа с отрицательным необходимо найти их модули и выполнить сравнение. Если значения окажутся равны, то мы имеем два слагаемых, которые являются противоположными числами, и их сумма будет нулевой. Если же они не равны, то нам надо учесть, что результат будет иметь тот же знак, что и большее число.
Таким образом, сложение в данном случае сводится к вычитанию из большего числа меньшего. Итог этого действия может быть разным: мы можем получить как положительное, так и отрицательное число. Нулевой результат тоже возможен.
Это правило распространяется на целые, рациональные и действительные числа.
Задачи на сложение положительного числа с отрицательным
Разберем, как применять на практике правило, озвученное выше. Возьмем для начала простой пример.
Пример 1
Вычислите сумму 2 + (- 5) .
Решение
Выполним последовательно шаги, которые мы изучили до этого. Найдем для начала модули исходных чисел, которые будут равны 2 и 5 . Больший модуль – 5 , поэтому запоминаем минус. Далее вычитаем из большего модуля меньший и получаем: 5 − 2 = 3 .
Ответ: (− 5) + 2 = − 3 .
Если в условиях задачи стоят рациональные числа с разными знаками, не являющиеся при этом целыми, то для удобства расчетов нужно представить их в виде десятичных или обыкновенных дробей. Возьмем такую задачу и решим ее.
Пример 2
Вычислите, сколько будет 2 1 8 + (- 1 , 25) .
Решение
Первым делом переведем смешанное число в обыкновенную дробь. Если вы не помните, как это делается, перечитайте соответствующую статью.
Десятичную дробь мы тоже представим в виде обыкновенной: - 1 , 25 = - 125 100 = - 5 4 .
После этого уже можно переходить к вычислению модулей и подсчету результата. Найдем модули: они будут равны 17 8 и 5 4 соответственно. Получившиеся дроби приведем к общему знаменателю и получим 17 8 и 10 8 .
Следующим шагом будет сравнение обыкновенных дробей. Поскольку числитель первой дроби больше, то 17 8 > 10 8 . Если слагаемое со знаком плюс у нас больше, то нам надо запомнить, что результат будет положительным.
17 8 - 10 8 = 17 - 10 8 = 7 8
Мы уже отмечали ранее, что результат у нас будет со знаком плюс: + 7 8 . Так как плюс писать необязательно, при записи ответа обойдемся без него.
Запишем весь ход решения:
2 1 8 + - 1 , 25 = 17 8 + - 5 4 = 17 8 + - 10 8 = 17 8 - 10 8 = 7 8
Ответ: 2 1 8 + - 1 , 25 = 7 8 .
Пример 3
Найдите, чему будет равна сумма 14 и - 14 .
Решение
Мы имеем два одинаковых слагаемых с разными знаками. Значит, эти числа являются противоположными друг другу, следовательно, их сумма будет равна 0 .
Ответ: 14 + - 14 = 0
В конце статьи добавим, что результат сложения действительных отрицательных чисел с положительными зачастую лучше записывать в виде числового выражения с корнями, степенями или логарифмами, а не в виде бесконечной десятичной дроби. Так, если мы сложим числа n и - 3 , то ответ будет равен n - 3 . Считать окончательный результат нужно далеко не всегда, и можно обойтись приблизительными расчетами. Более подробно об этом мы напишем в статье об основных действиях с действительными числами.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
В этом уроке мы изучим сложение и вычитание целых чисел , а также правила для их сложения и вычитания.
Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Положительные числа легко , и . К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой. Как показывает практика, ошибки сделанные из-за отрицательных чисел, расстраивают обучающихся больше всего.
Содержание урокаПримеры сложения и вычитания целых чисел
Первое чему следует научиться, это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа, и где положительные.
Рассмотрим простейшее выражение: 1 + 3. Значение данного выражения равно 4:
Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3.
Значение данного выражения равно −2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.
Вообще, надо запомнить, что если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.
Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4
Значение данного выражения равно 2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2.
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.
Знак плюса в выражении −2 + 4 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3
Значение данного выражения равно −4
Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.
Знак минуса в выражении −1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.
Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2
Значение данного выражения равно 0
Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.
Знак плюса в выражении −2 + 2 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Правила сложения и вычитания целых чисел
Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Удобнее воспользоваться готовыми правилами.
Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.
Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5
Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками. −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Итак, посмотрим какой модуль больше:
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть, ответ будет положительным:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
Обычно записывают покороче: −2 + 5 = 3
Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)
Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 это положительное число, а −2 — отрицательное. Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3+−2.
Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим знак того числа, модуль которого больше:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили знак того числа модуль, которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть, ответ положительный.
Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1
Пример 3. Найти значение выражения 3 − 7
В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая применяется следующее правило:
Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее, и перед полученным ответом поставить минус.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.
Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4
Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.
Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:
После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.
Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:
a − b = − (b − a)
Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.
На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.
Итак, знакомимся с новым правилом:
Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.
Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:
Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам. Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет вычитаемому.
На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:
А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы из большего модуля вычитаем меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.
Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем. Это связано с тем, что положительные числа записываются без знака плюс.
Например, в выражении 3 − 1 знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом, и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами не записывают.
А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:
(+3) − (+1)
Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще.
В выражении (+3) − (+1) в ычитаемое это число (+1), а противоположное ему число это (−1).
Заменим вычитание сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
Дальнейшее вычисление не составит особого труда.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.
Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к понятному виду, расставив каждому числу свои знаки.
У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она является положительным числом:
Заменим вычитание сложением:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
Дальнейшее вычисление не составляет труда:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7)
= −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5
Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (−4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа. Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.
Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило, и поставим перед полученным ответом минус:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
Решение для данного примера можно записать покороче:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
или ещё короче:
−4 − 5 = −9
Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9
Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
Заменим вычитания сложениями. Все минусы, кроме минуса, стоящего перед тройкой, поменяются на плюсы, и все положительные числа поменяются на противоположные:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
Решение данного примера можно записать покороче:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
или ещё короче:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
Пример 9. Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7
Приведём выражение к понятному виду:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем без изменения, а вычитание заменяем сложением:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
Соблюдая , выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:
Первое действие:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
Второе действие:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
Третье действие:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
Четвёртое действие:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15
Примечание . Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.
Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
формирование знаний о правиле сложения чисел с разными знаками, умений применять его в простейших случаях;
развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;
воспитание ответственного отношения к учебному труду.
Оборудование: мультимедийный проектор, экран.
Тип урока: урок изучения нового материала.
ХОД УРОКА
1.Организационный момент.
Ровно встали,
Тихо сели.
Прозвенел сейчас звонок,
Начинаем наш урок.
Ребята! Сегодня к нам на урок пришли гости. Давай повернемся к ним и улыбнемся друг другу. Итак, мы начинаем наш урок.
Слайд 2 - Эпиграф урока: «Кто ничего не замечает, тот ничего не изучает.
Кто ничего не изучает, тот вечно хнычет и скучает.»
Роман Сеф (детский писатель)
Слад 3 - Предлагаю поиграть в игру «Наоборот». Правила игры : нужно разделить слова на две группы: выигрыш, ложь,тепло, отдал, правда, добро, проигрыш, взял, зло, холодно, положительное, отрицательное.
Противоречий в жизни много. С их помощью мы определяем окружающую действительность. Для нашего занятия мне необходимо последнее: положительное – отрицательное.
О чем мы говорим в математике, когда употребляем эти слова? (О числах.)
Великий Пифагор утверждал: «Числа правят миром». Я предлагаю поговорить о самых загадочных числах в науке – о числах с разными знаками. - Отрицательные числа появились в науке, как противоположность к положительным. Их путь в науку был труден, потому что даже многие ученые не поддерживали идей об их существовании.
Какие понятия и величины люди измеряют положительными и отрицательными числами? (заряды элементарных частиц, температуру, убытки, высоту и глубину и т.д.)
Слайд 4- Слова противоположные по значению – антонимы (таблица).
2.Постановка темы урока.
Слайд 5(работа с таблицей)
– Какие числа изучали на предыдущих уроках?
– Какие задания, связанные с положительными и отрицательными числами вы умеете выполнять?
– Внимание на экран. (Слайд 5)
– Какие числа представлены в таблице?
– Назовите модули чисел, записанных по горизонтали.
– Укажите наибольшее число, укажите число с наибольшим модулем.
– Ответьте на те же вопросы для чисел, записанных по вертикали.
– Всегда ли наибольшее число и число с наибольшим модулем совпадают?
– Найдите сумму положительных чисел, сумму отрицательных чисел.
– Сформулируйте правило сложения положительных чисел и правило сложения отрицательных чисел.
– Какие числа осталось сложить?
– Умеете ли вы их складывать?
– Знаете ли вы правило сложения чисел с разными знаками?
– Сформулируйте тему урока.
– Какую цель вы перед собой поставите? .Подумайте, что мы будем делать сегодня? (Ответы детей). Сегодня мы продолжаем знакомиться с положительными и отрицательными числами. Тема нашего урока “Сложение чисел с разными знаками.” А наша цель: научиться без ошибок, складывать числа с разными знаками. Записали в тетрадь число и тему урока
.
3.Работа по теме урока .
Слайд 6.
– Применяя данные понятия, найдите результаты сложения чисел с разными знаками на экране.
– Какие числа являются результатом сложения положительных чисел, отрицательных чисел?
– Какие числа являются результатом сложения чисел с разными знаками?
– От чего зависит знак суммы чисел с разными знаками? (Слайд 5)
– От слагаемого с наибольшим модулем.
– Это как при перетягивании каната. Побеждает сильнейший.
Слайд 7 – Поиграем. Представьте, что вы перетягиваете канат.. Учитель. Соперники обычно встречаются на соревнованиях. И мы сегодня побываем с вами на нескольких турнирах. Первое, что нас ждет – это финал конкурса по перетягиванию каната. Встречаются Иван Минусов под номером -7 и Петр Плюсов под номером +5. Как вы думаете, кто победит? Почему? Итак, победил Иван Минусов, он действительно оказался сильнее соперника, и смог перетащить его на свою отрицательную сторону ровно на два шага.
Слайд 8.- . А теперь побываем на других соревнованиях. Перед вами финал состязания по стрельбе. Лучшими в этом виде оказались Минус Тройкин с тремя воздушными шарами и Плюс Четвериков, имеющий в запасе четыре воздушных шарика. А здесь ребята, как вы думаете, кто станет победителем?
Слайд 9 - Соревнования показали, что в них побеждает сильнейший. Так и при сложении чисел с разными знаками: -7 + 5 = -2 и -3 + 4 = +1. Ребята, как же складываются числа с разными знаками?Учащиеся предлагают свои варианты.
Учитель формулирует правило, приводит примеры.
10 + 12 = +(12 – 10) = +2
4 + 3,6 = -(4 – 3,6) = -0,4
Учащиеся в процессе демонстрации могут комментировать решение, появляющееся на слайде.
Слайд 10 - Учитель- поиграем ещё в одну игру «Морской бой». К нашему побережью приближается вражеский корабль, его необходимо подбить и потопить. Для этого у нас есть пушка. Но чтобы попасть в цель необходимо произвести точные расчеты. Какие вы сейчас увидите. Готовы? Тогда вперед! Прошу не отвлекаться, примеры меняются ровно через 3 сек. Все готовы?
Учащиеся по очереди выходят к доске и вычисляют примеры, появляющиеся на слайде. – Назовите этапы выполнения задания.
Слайд 11-
Работа по учебнику: стр.180 п.33 , прочитать правило сложения чисел с разными знаками. Комментирует правило.
– В чём отличие правила, предложенного в учебнике, от составленного вами алгоритма? Рассмотреть примеры в учебнике с комментарием.
Слайд 12- Учитель-А теперь ребята давайте проведем эксперимент. Но не химический, а математический! Возьмем числа 6 и 8, знаки плюс и минус и все хорошенько перемешаем. Получим четыре примера-опыта. Проделайте их у себя в тетради.(двое учащихся решают на крыльях доски, затем ответы проверяются). Какие выводы можно сделать из этого эксперимента? (Роль знаков). Проведем ещё 2 эксперимента , но с вашими числами (выходят по1 человеку к доске). Придумаем друг другу числа и проверим результаты эксперимента (взаимопроверка).
Слайд 13 .- На экран выводится правило в стихотворной форме .
4.Закрепление темы урока.
Слайд 14 – Учитель- «Знаки всякие нужны, знаки всякие важны!» Сейчас, ребята, мы поделимся с вами на две команды. Мальчики будут в команде Деда Мороза, а девочки – Солнышка. Ваша задача, не вычисляя примеры, определить в каких из них получатся отрицательные ответы, а в каких - положительные и выписать в тетрадь буквы этих примеров. Мальчики соответственно – отрицательные, а девочки – положительные(выдаются карточки с приложения). Проводится самопроверка.
Молодцы! Чутьё на знаки у вас отличное. Это поможет вам выполнить следующее задание
Слайд 15 - Физкульминутка. -10, 0,15,18,-5,14,0,-8,-5 и т. д.(отрицательные числа- приседают, положительные числа- подтягиваются вверх, подпрыгивают)
Слайд 16 -Решить 9 примеров самостоятельно (задание на карточках в приложении). 1человек у доски. Сделать самопроверку. Ответы выводятся на экран, ошибки учащиеся исправляют в тетради. Поднимите руки, у кого верно. (Отметки выставляются только за хороший и отличный результат)
Слайд 17 -Правильно решать примеры нам помогают правила. Давайте их повторим На экране алгоритм сложения чисел с разными знаками.
5.Организация самостоятельной работы.
Слайд 18 -Ф ронтальная работа через игру «Отгадай слово» (задание на карточках в приложении) .
Слайд 19 - Должна получиться оценка за игру - «пятёрочка»
Слайд 20 -А теперь,внимание. Домашнее задание. Домашнее задание не должно вызвать у вас затруднений.
Слайд 21 - Законы сложения в физических явлениях. Придумайте примеры на сложение чисел с разными знаками и задайте их друг другу. Что нового вы узнали? Достигли ли мы поставленной цели?
Слайд 22 - Вот и кончился урок,подведем сейчас итог. Рефлексия. Учитель комментирует и выставляет оценки за урок.
Слайд 23 - Спасибо за внимание!
Желаю вам, чтобы в вашей жизни было больше положительного и меньше отрицательного, Хочу сказать вам, ребята, спасибо за вашу активную работу. Я думаю, что вы легко сможете применить полученные знания на последующих уроках. Урок окончен. Всем большое спасибо. До свидания!
