Вывод уравнений движения исходя из принципа даламбера. Принцип даламбера теоретической механики. Общее уравнение динамики

При движении материальной точки её ускорение в каждый момент времени таково, что приложенные к точке заданные (активные) силы, реакции связей и фиктивная Даламберова сила Ф = - та образуют уравновешенную систему сил.

Доказательство. Рассмотрим движение несвободной материальной точки массой т в инерциальной системе отсчета. Согласно основному закону динамики и принципу освобождения от связей имеем:

где F - равнодействующая заданных (активных) сил; N - равнодействующая реакций всех наложенных на точку связей.

Нетрудно преобразовать (13.1) к виду:

Вектор Ф = - та называют Даламберовой силой инерции, силой инерции или просто Даламберовой силой. Далее будем использовать только последний термин.

Уравнение (13.3), выражающее принцип Даламбера в символьной форме, называют уравнением кинетостатики материальной точки.

Легко получить обобщение принципа Даламбера для механической системы (системы п материальных точек).

Для любой к -й точки механической системы выполняется равенство (13.3):

где ? к - равнодействующая заданных (активных) сил, действующих на к -ю точку; N к - равнодействующая реакций связей, наложенных на к-ю точку; Ф к = - та к - Даламберова сила к -й точки.

Очевидно, что если условия уравновешенности (13.4) выполняются для каждой тройки сил F*, N* : , Ф* (к = 1,. .., п ), то и вся система 3п сил

является уравновешенной.

Следовательно, при движении механической системы в каждый момент времени приложенные к ней активные силы, реакции связей и Даламберовы силы точек системы образуют уравновешенную систему сил.

Силы системы (13.5) уже не являются сходящимися, поэтому, как известно из статики (п. 3.4), необходимые и достаточные условия её уравновешенности имеют следующий вид:

Уравнения (13.6) называют уравнениями кинетостатики механической системы. Для расчетов используют проекции этих векторных уравнений на оси, проходящие через моментную точку О.

Замечание 1. Поскольку сумма всех внутренних сил системы, а также сумма их моментов относительно любой точки равны нулю, то в уравнениях (13.6) достаточно учитывать лишь реакции внешних связей.

Уравнения кинетостатики (13.6) обычно используют для определения реакций связей механической системы, когда движение системы задано, а поэтому ускорения точек системы и зависящие от них Далам- беровы силы известны.

Пример 1. Найти реакции опор А и В вала при его равномерном вращении с частотой 5000 об/мин.

С валом жестко связаны точечные массы гп = 0,1 кг, т 2 = 0,2 кг. Известны размеры АС - CD - DB = 0,4 м, h = 0,01 м. Массу вала считать пренебрежимо малой.

Решение. Чтобы воспользоваться принципом Даламбера для механической системы, состоящей из двух точечных масс, укажем на схеме (рис. 13.2) заданные силы (силы тяжести) Gi, G 2 , реакции связей N4, N# и Даламберовы силы Ф|, Ф 2 .

Направления Даламбсровых сил противоположны ускорениям точечных масс т ь т 2у которые равномерно описывают окружности радиуса h вокруг оси АВ вала.

Находим величины сил тяжести и Даламбсровых сил:

Здесь угловая скорость вала со- 5000* л/30 = 523,6 с Проецируя уравнения кинетостатики (13.6) на декартовы оси Ах, Ay , Az , получим условия уравновешенности плоской системы параллельных сил Gi, G 2 , 1Чд, N tf , Ф ь Ф 2:

Из уравнения моментов находим N в = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w „

272 Н, а из уравнения проекции на

ось Ay: N a = -N B +G,+G 2 +Ф,-Ф 2 = 272 + 0,98 +1,96 + 274-548 =0,06 Н.

Уравнения кинетостатики (13.6) можно использовать и для получения дифференциальных уравнений движения системы, если составить их так, что реакции связей исключаются и в результате появляется возможность получить зависимости ускорений от заданных сил.

Принцип Даламбера для материальной точки. Форма записи уравнения движения в соответствии с законами Ньютона не является единственной. Эти уравнения могут быть записаны и в других формах. Одну из таких возможностей представляет принцип Даламбера , который формально позволяет дифференциальным уравнениям движения придать вид уравнений равновесия.

Этот принцип можно рассматривать как самостоятельную аксиому, заменяющую второй закон Ньютона. Используем его как средство решения задач и выведем его из закона Ньютона.

Рассмотрим движение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета. Для свободной материальной точки

имеем: та = = Я.

Перенося вектор та в правую часть равенства, это соотношение можно представить как уравнение равновесия: Я - та - 0.

Введем понятие силы инерции. Назовем вектор, направленный противоположно ускорению и равный произведению массы точки на ее ускорение силой инерции материальной точки : = -та.

Используя это понятие, можем записать (рис. 3.42):

• ? ^ + Р" п) = 0. (3.47)

Рис. 3.42.

для материальной точки

Уравнение (3.47) и есть принцип Даламбера для свободной материальной точки: если к приложенным к точке силам добавить силу инерции, то точка будет находиться в состоянии равновесия.

Строго говоря, высказанное положение не является принципом Даламбера в той форме, в которой он был сформулирован автором.

Даламбер рассматривал несвободное движение точки , не используя принцип освобождаемое™ от связей, не вводя реакцию связи. Отмечая, что при наличии связи ускорение точки не совпадает по направлению с силой и та Ф Р, он ввел понятие потерянной силы Р - та и высказал утверждение, что приложение к точке потерянной силы не нарушает ее состояние равновесия, поскольку потерянная сила уравновешивается реакцией связи.

Соотношение (3.47) представляет собой основное уравнение кинетостатики, ил и уравнение Петербургского принципа Германа -Эйлера. Метод кинетостатики можно рассматривать как видоизменение записи принципа Даламбера, в том числе и для свободной материальной точки, более удобное для практического использования. Поэтому в большинстве литературных источников уравнение (3.47) называют принципом Даламбера.

Если точка несвободна, т.е. на нее наложена связь, то удобно разделить силы, которые действуют на точку, на активные 1 , Р° (задава-

емые) и реакцию связи УУ: р (а) + N =

Такой прием удобен, потому что при некоторых типах связей удается составить уравнение движения так, что реакции этих связей в него не войдут. Таким образом, принцип Даламбера для несвободной точки можно записать в виде (рис. 3.43):

Р (а) + /V + Р Ш) = 0, (3.48)

т.е., если к несвободной материальной точке, кроме активных сил и реакции связи приложить силу инерции, то полученная система сил в любой момент времени будет находиться в равновесии.

Рис. 3.43.

материальной точки

а - от англ, active - активный. Напомним, что активными называют силы, которые сохраняют свои значения при удалении всех связей.

При рассмотрении криволинейного движения точки целесообразно силу инерции представлять в виде двух составляющих: Г"‘ п) = -та п - центробежной и Щ,п) =-та х - касательной (рис. 3.44).

Рис. 3.44.

движения материальной точки

Напомним, что выражения для величин нормального и касательного ускорений имеют вид: а п -У 2 / р и я т = с1У Д/Л

Тогда можно записать: Р^ т) - -т -п Рр п) - -т -т, или окончательно: Р

рт + р(т) + р(а) + уу = о (3.49)

Равенство (3.49) выражает принцип Даламбера для криволинейного движения несвободной точки.

Рассмотрим нить длинной /, на конце которой закреплена точка массой т. Нить вращается вокруг вертикальной оси, описывая коническую поверхность с постоянным углом наклона образующей а. Определить соответствующую постоянную скорость движения точки и натяжение нити Т (рис. 3.45).

Рис. 3.45.

движения несвободной материальной точки

Да но:/и,/, а = const. Найти: Т, V.

Приложим к точке силы инерции, направленные противоположно соответствующим составляющим ускорения. Заметим, что касательная сила инерции равна нулю, так как по условию скорость постоянна:

/1°") = -та = -т -= О,

а центробежная сила инерции определяется выражением Р^ т) = тУ 2 /р, где р = /Бта.

Применение принципа Даламбера к данной задаче позволяет записать уравнение движения исследуемой материальной точки в виде условия равновесия сходящихся сил: т? + Т + Рр п) = 0.

При этом справедливы все уравнения равновесия в проекции на естественные оси координат:

Х^„=0, - FJ" 1 + Tsina = 0; ^ F h = 0, - mg + Т cosa = 0,

+ Т sin a =

-mg + T cosa = 0,

откуда находим Т = /и#/соБа; V = Бтал/^/Тсоза.

Принцип Даламбера для системы материальных точек. Рассмотрим движение механической системы материальных точек. Как и при выводе ОЗМС, разделим силы, приложенные к каждой точке, на внешние и внутренние (рис. 3.46).

Рис. 3.46.

Пусть ’ - равнодействующая внешних сил, приложенных к /-й точке, а /Г (Л - равнодействующая внутренних сил, приложенных к этой же точке. В соответствии с принципом Даламбера к каждой материальной точке системы нужно приложить силы инерции: Рр п) = -т,а г

Тогда силы, приложенные к каждой точке системы, удовлетворяют соотношению:

1?Е) + рУ) + р0п)

т.е. система материальных точек будет находиться в равновесии, если к каждой ее точке приложить дополнительно силы инерции. Таким образом, с помощью принципа Даламбера удается уравнениям движения системы придать вид уравнений равновесия.

Выразим кинетостатические условия равновесия системы с помощью статических эквивалентов сил инерции и внешних сил. Для этой цели просуммируем по всем п уравнения (а), описывающие силы, приложенные к отдельным точкам системы. Затем вычислим моменты всех внешних и внутренних сил и сил инерции, приложенных к отдельным точкам, относительно произвольной точки О:

г а X Р" Е> +г а х /*") +г а х Р т > =0. і = 1,2,...,«.

Затем проведем суммирование, в результате получим

// п п

’(Е) і Г(1)

1л (?) +Л (/) +Л (,п) = 0;

[М { 0 Е) + М { 0 п + М% а) = 0.

Поскольку К и) = 0 и М 1 0 п = 0, то окончательно имеем:

ІЯ (?) + Л (/Я) =0;

М (а Е) + М (‘ п) = 0.

Из системы уравнений (3.50) видно, что главный вектор сил инерции уравновешивается главным вектором внешних сил, а главный момент сил инерции относительно произвольной точки уравновешивается главным моментом внешних сил относительно этой же точки.

При решении задач необходимо иметь выражения для главного вектора и главного момента сил инерции. Величины и направления этих векторов зависят от распределения ускорений отдельных точек и их масс. Как правило, непосредственное определение Я {ш) и М { ”" ] геометрическим суммированием сравнительно просто можно выполнять лишь при п - 2 или п = 3. Вместе с тем, в задаче о движении твердого тела можно выразить статические эквиваленты сил инерции в некоторых частных случаях движения в зависимости от кинематических характеристик.

Главный вектор и главный момент сил инерции твердого тела при различных случаях движения. По теореме о движении центра масс т с а с = Я {Е) . Согласно принципу Даламбера имеем: Я (1П) + Я {Е) = О, откуда находим: Я" 1П) = -т с а с. Таким образом, при любом движении тела главный вектор сил инерции равен произведению массы тела на ускорение центра масс и направлен противоположно ускорению центра масс (рис. 3.47).

Рис. 3.47.

Выразим главный момент сил инерции при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси, перпендикулярной плоскости материальной симметрии тела (рис. 3.48). Силы инерции, прилагаемые к/-йточке: Р„! п) = т,х ор; 2 и р? п) = /и,ер,.

Поскольку все центробежные силы инерции пересекают ось вращения, главный момент этих сил инерции равен нулю, а главный момент касательных сил инерции равен:

м т = ?_ С > Р(= ?-ш.д х/Р. = = -е?/я. р; = - J z г. (3.51)

Таким образом, главный момент касательных сил инерции относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно этой оси и углового ускорения, причем направление главного момента касательных сил инерции противоположно направлению углового ускорения.

Рис. 3.48.

относительно оси вращения

Далее выразим силы инерции при плоскопараллельном движении тела. Рассматривая плоскопараллельное движение тела (рис. 3.49) как сумму поступательного движения вместе с центром масс и вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения, можно доказать при наличии плоскости материальной симметрии, совпадающей с плоскостью движения центра масс, что силы инерции при^плоскопараллельном движении эквивалентны главному вектору /? (" п) , приложенному к центру масс противоположно ускорению центра масс, и главному моменту сил инерции М^ п) относительно центральной оси, перпен-дикулярнои плоскости движения, направленному в сторону, противоположную угловому ускорению:

Рис. 3.49.

Примечания.

• 1. Отметим что, поскольку принцип Даламбера позволяет только записать уравнение движения в форме уравнения равновесия, то каких-либо интегралов уравнения движения он не дает.
• 2. Подчеркнем, что сила инерции в принципе Даламбера является фиктивной сизой, прилагаемой дополнительно к действующим силам с той лишь целью, чтобы получить равновесную систему. Однако в природе существуют силы геометрически равные силам инерции, но эти силы приложены к другим (ускоряющим) телам, во взаимодействии с которыми возникает ускоряющая сила, приложенная к рассматриваемому движущемуся телу. Например, при движении точки, закрепленной на нити, вращающейся с постоянной скоростью по окружности в горизонтальной плоскости, натяжение нити как раз равно силе инерции, т.е. силе реакции точки на нить, в то время как точка движется под действием реакции нити на нее.
• 3. Как уже было показано, приведенная форма принципа Даламбера отличается от той, которую использовал сам Даламбер. Способ составления дифференциальных уравнений движения системы, применяемый здесь, был развит и расширен рядом петербургских ученых и получил название метода кинетостатики.

Приложение методов механики к некоторым задачам динамики рельсовых экипажей:

? движение рельсового экипажа по криволинейному пути. В настоящее время в связи с возможностями вычислительной техники анализ всех механических явлений, происходящих при движении рельсового экипажа в кривой, производят с помощью достаточно сложной модели, в которой учитывают всю совокупность отдельных тел системы и особенности связей между ними. Такой подход позволяет получить все необходимые кинематические и динамические характеристики движения.

Однако при анализе конечных результатов и проведении предварительных прикидочных расчетов в технической литературе довольно часто встречаются определенные искажения некоторых понятий механики. Поэтому целесообразно поговорить о самых «первородных основах», используемых при описании движения экипажа в кривой.

Приведем некоторые математические описания рассматриваемых процессов в элементарной постановке.

Для правильного, непротиворечивого объяснения характеристик стационарного движения экипажа в круговой кривой необходимо:

• выбрать метод механики, используемый для описания этого движения;
• исходить из четкого, с точки зрения механики, понятия «сила»;
• не забывать закон равенства действия и противодействия.

Процесс движения экипажа в кривой неизбежно предполагает изменение направления скорости. Характеристикой быстроты этого изменения является нормальное ускорение, направленное в центр кривизны криволинейной траектории центра масс: а п - V 2 /р, где р - радиус кривой.

В процессе движения экипаж взаимодействует с рельсовым путем, в результате возникают нормальные и касательные реактивные силы, приложенные к колесным парам. Естественно, что равные и противоположные им силы давления приложены к рельсам. Согласно изложенным механическим представлениям, под силой понимают результат взаимодействия тел, или тела и поля. В рассматриваемой задаче присутствуют две физических системы: экипаж с колесными парами и рельсовый путь, следовательно, силы надо искать в местах их контакта. Кроме этого взаимодействие экипажа и гравитационного поля Земли создает силу тяжести.

Описание движения экипажа в кривой можно производить, используя общие теоремы динамики , являющиеся следствиями ОЗМС, или на основе принципов механики (например, принципа Даламбера), являющегося основой метода кинетостатики.

Желая объяснить равные особенности методики учета кривизны оси пути на характеристики движения экипажа, используем вначале простейшую идеализированную модель. Экипаж будем рассматривать как материальную плоскость с массой, равной массе этой системы.

Центр масс, лежащий в этой плоскости, совершает заданное движение по траектории, конгруэнтной оси пути, со скоростью V. Контакт с рельсовым путем осуществляется в двух точках пересечения движущейся плоскости с рельсовыми нитями. Поэтому, говоря о взаимодействии экипажа с рельсовым путем, можно говорить о сосредоточенных силах, представляющих собой равнодействующие всех реакций рельсов на отдельные колесные пары от каждого из рельсов. Причем природа возникновения реактивных сил несущественна;

? движение экипажа по пути без возвышения наружного рельса. На рис. 3.50 приведена расчетная схема экипажа, движущегося по криволинейному пути. Наружний и внутренний рельсы, в данном случае, расположены на одном уровне. На рис. 3.50 указаны действующие на экипаж силы и реакции связей. Подчеркнем, что никаких реальных центробежных сил в этой схеме нет.

В рамках геометрической механики Ньютона движение экипажа в кривой описывают общими теоремами динамики системы.

В этом случае, согласно теореме о движении центра масс,

т с а с - Я а) , (а)

где Я) - главный вектор внешних сил.

Проектируем обе части выражения (а) на сопровождающие естественные оси координат, центр которых находится в центре масс экипажа, с единичными векторами т, я, b и считаем т с = т.

В проекции на главную нормаль получим та п = F n , или

mV /p = F„ (Ь)

где F n - реально существующая сила реакций рельса на колесные пары, представляющая собой сумму проекций реакций рельсов на нормаль к траектории. Это могут быть направляющие силы давления рельсов на гребни колес. Никаких других внешних сил в этом направлении нет.

В проекции выражения (а) на бинормаль получим:

О = -mg + N out + N inn . (с)

Здесь индексы out 1 соответствуют наружному, a inn - внутреннему рельсу кривой. Левая часть в выражении (с) равна нулю, поскольку нулю равна проекция ускорения на бинормаль.

Третье уравнение получим, используя теорему об изменении момента количества движения относительно центра масс:

dK c /dt = ^M c . (d)

Проектируя выражение d на ось т, где т = nx b - векторное про-изведение единичных векторов п и Ь , с учетом того, что K Cl =У Ст со т, У Ст - момент инерции экипажа относительно оси касательной к траектории центра масс, будем иметь

J a *i=NJS-N m S + F K H = 0, (е)

поскольку угловое ускорение относительно оси т в установившемся движении по круговой кривой равно нулю.

Выражения (Ь ), (с) и (е) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно трех неизвестных величин М-тп > решая которую, получим:

Рис. 3.50.

Таким образом, последовательное применение общих теорем динамики позволяет в рассматриваемой задаче установить все феномены, связанные с прохождением экипажем криволинейного участка пути.

В самом деле, на оба колеса действуют силы, направленные внутрь кривой. Равнодействующая этих сил создает момент относительно центра масс экипажа, который может вызвать вращение и даже опрокидывание наружу кривой, если V 2 Н /р5" > g. Действие этой силы приводит к износу колес. Естественно, что действующая на рельс противоположно направленная сила -Р п вызывает износ рельса.

Заметим, что в изложенной постановке можно найти лишь равнодействующую горизонтальных реакций двух рельсов Р. Для определения распределения этой силы между внутренним и наружным рельсами необходимо решать статически неопределенную задачу с использованием дополнительных условий. Кроме этого при движении экипажа нормальные реакции наружного и внутреннего рельсов имеют разные значения. Более нагружена наружная рельсовая нить.

Реакция внутренней нити на экипаж меньше и при определенном значении скорости может быть даже равна нулю.

В классической механике такое состояние и называют опрокидыванием , хотя фактически опрокидывания на самом деле еще нет. Для выяснения, когда наступает состояние действительного опрокидывания, следовало бы рассмотреть вращение вагона вокруг оси, параллельной т и проходящей через точку контакта колеса с наружним рельсом при? т Ф 0. Такая задача имеет чисто академический интерес, поскольку, безусловно, доводить реальную систему до такого состояния недопустимо.

Подчеркнем еще раз, что при объяснении всех явлений исходили из факта движения вагона под действием только реальных сил.

Заметим, что дифференциальное уравнение вращения вокруг оси т даже при = 0 записано по отношению к центральной оси т. Выбор этой оси в другой точке приводит к изменению вида левой части уравнения теоремы моментов. Поэтому нельзя, например, записывать это уравнение в таком же виде относительно оси, проходящей через точку контакта колеса с рельсом, хотя, казалось бы, найти значение нормальных реакций при этом было бы проще. Однако такой подход приведет к неверному результату: И ош = М 1Ш1 = mg| 2.

Можно показать, что дело заключается в том, что уравнение вращения относительно оси, проходящей, например, через точку К , нужно записывать с учетом момента количества движения тела от пос-тупательной части движения г кс х та с: J Cl ? т + т (г кс хй г)=^М Кх.

Поэтому вместо уравнения (с) в проекции на ось Ст получим выражение

(8 )

/ Ст? т + т[г кс х а с ) т = -тёБ + N іпп 25,

где в скобках записано значение проекции на ось Ст векторного произведения ? кс ха с.

Покажем, что последовательное проведение необходимых процедур позволяет найти Ы шп из полученного уравнения). Из рис. 3.50 видно, что

г кс - Бп + НЬ и а с =

Вычислим векторное произведение:

Здесь учтено, что пхп = 0 и Ьхп = - т. Следовательно,

тНУ 2

2Л г /лп 5’,

откуда находим реакцию внутреннего рельса:

что совпадает с результатом, полученным в выражении (/).

В заключение изложения задачи укажем, что рассмотрение вагона в движении с использованием методов геометрической механики Ньютона позволяет решить задачу без введения фиктивных сия инерции. Нужно только при этом правильно использовать все положения механики. Следует, однако, заметить, что применение этого способа может быть связано с большим объемом вычислений, чем, например, при использовании принципа Даламбера.

Покажем теперь, как решается эта же задача на основе использования принципа Даламбера в общепринятой форме метода кинетостатики. В этом случае необходимо приложить к центру масс допол-

нительную фиктивную силу инерции: Г* = -та Сп = -т -п. И эки-

паж останавливается , т.е. теперь ускорение его центра масс а с = 0. На рис. 3.51 приведена такая покоящаяся система. Все приложенные к ней силы, включая силу инерции, должны удовлетворять кинетос-татическим уравнениям равновесия, а не движения, как в предыдущем случае.

Это обстоятельство позволяет найти все неизвестные величины из уравнении равновесия. При этом выбор формы уравнений равновесия и точек, относительно которых вычисляют моменты, становится произвольным. Последнее обстоятельство позволяет найти все неизвестные независимо друг от друга:

IМ. = о, I м,_ = о,

-н = о.

1 у МП

Рис. 3.51. Расчетная схема сил, действующих на экипаж при тех же условиях, что и на рис. 3.50 при использовании принципа Даламбера

Легко видеть, что решения этой системы уравнений совпадают с соответствующими формулами, полученными с использованием теории динамики. Таким образом, в рассматриваемом примере применение принципа Даламбера позволило несколько упростить решение задачи.

Однако при истолковании результатов следует иметь в виду, что приложенная дополнительно сила инерции является фиктивной в том смысле, что в действительности нет такой силы, действующей на экипаж. Кроме того, эта сила не удовлетворяет третьему закону Ньютона - нет «второго конца» этой силы, т.е. нет противодействия.

В целом, при решении многих задач механики, в том числе и задачи движения экипажа в кривой, удобно применять принцип Даламбера. Но при этом не следует связывать какие-либо явления с действием этой силы инерции. Например, говорить о том, что эта центробежная сила инерции нагружает дополнительно наружний рельс и разгружает внутренний и более того, что эта сила может вызвать опрокидывание экипажа. Это не только безграмотно, но и бессмысленно.

Напомним еше раз, что внешними приложенными силами, действующими на экипаж в кривой и изменяющими состояние его движения, являются сила тяжести, вертикальные и горизонтальные реакции рельсов;

? движение экипажа по кривой с возвышением наружного рельса. Как было показано, процессы, возникающие при прохождении экипажа в кривых без возвышения наружного рельса, связаны с нежелательными последствиями - неравномерной вертикальной нагрузкой рельсов, значительной нормальной горизонтальной реакцией рельса на колесо, сопровождающейся усиленным износом как колес, так и рельсов, возможностью опрокидывания при превышении скорости движения некоторого предела и др.

В значительной степени неприятных явлений, сопровождающих прохождение кривых, можно избежать, если устраивать возвышение наружного рельса над внутренним. При этом экипаж будет катиться по поверхности конуса с углом наклона образующей к горизонтальной оси (рис. 3.52): ф Л = arcsin (Л/25), или при малых углах

Ф А * Л/2S.

Рис. 3.52.

с возвышением наружного рельса

В стационарном случае, когда V - const и ф А = const, можно рас -сматривать движение плоского сечения экипажа в своей плоскости так же, как и при вписывании в кривую без возвышения наружного рельса.

Рассмотрим методику решения задачи с помощью общих теорем динамики. Будем считать, что центр масс экипажа движется по круговой кривой радиусом р, хотя в рассматриваемом случае, строго говоря, радиус кривизны оси пути отличается от радиуса кривизны траектории центра масс на малую величину:

Н sin ср Л ~ Н ф А « р.

Поэтому по сравнению с р, последней величиной можно пренебречь. Движение «плоского сечения» экипажа будем относить к сопровождающим осям СуСі х (см. рис. 3.52), где ось Су ] параллельна плоскости пути. При постоянной скорости движения проекция ускорения центра масс на главную нормаль траектории его движения может быть записана так же, как и при движении в кривой без возвышения, т.е. а п = V і /р.

Проекции ускорения на оси Су, и Cz^ равны соответственно:

а ух =а п совф,; я. =a„smy h .

Уравнения движения плоского сечения на основе теоремы о движении центра масс и теоремы об изменении момента количества движения относительно оси Сх, выглядят следующим образом:

С учетом того, что = 0, после подстановки получаем систему трех линейных алгебраических уравнений относительно трех неизвестных F Vi , N iiw , N (nil:

/и-si Пф л = -mg cos V/ , + N mn + N out ; P

-соєф А = mgs іпф А + F ;

0 = +N ilw S-N oul S + F y H.

Обратим внимание, что наклон плоскости оси пути из-за возвышения наружного рельса приводит к изменению проекции ускорения центра масс на оси Су, и Сг, что связано с изменением реакций рельсов по сравнению с таковыми при отсутствии возвышения, когда а. - 0, а л Эти изменения в проекциях ускорений можно объяснить, если рассматривать вращение экипажа вокруг бинормали, проходящей через центр кривизны кривой как геометрическую сумму двух вращений со Л =со (+ б) вокруг осей?,у, проходящих через тот же центр кривой.

При составлении системы уравнений (к) малость угла ср Л не предусматривалась. Однако в практически реализуемой конструкции

втф А ~ /г/25.

Таким образом, в случае малых ф Л система уравнений для определения реакций пути на экипаж имеет следующий вид:

= -г^ + ЛГ,„ + М гш, ;

т - = /гг#--1- г, ;

О = + Л/-5 - /У 0И/ 5 + Р п Н.

Решая эти уравнения, получаем:

N...... =

mg + тУ /г

пт /77 К И /77 „

• - +--+-н
• 2р 25 25

В частном случае, когда возвышение отсутствует (И = 0), эти выражения совпадают с полученными ранее (/).

Теперь перейдем к анализу результатов решения задачи при И Ф 0.

Следует отметить, что в этом случае поперечная реакция рельса, направленная в плоскости пути, уменьшается. Это объясняется тем, что в формировании ускорения центра масс в направлении оси Су, принимает участие не только сила //, но и составляющая силы тяжести. Более того, при определенном значении И = 25К 2 /р? сила Р становится равной нулю:

Имея в виду, что

т г - Т, = X А,%> + X А[

• (3.42)

Величину в скобках называют непогашенным ускорением. Состояние, когда Р = 0, соответствует случаю, при котором нормальное ускорение а формируется только проекцией на ось д>, силы тяжести экипажа.

При обсуждении расматриваемой задачи иногда возникает софистическое рассуждение о том, что ускорение а п направлено по горизонтали, а сила тяжести - вертикально (см. рис. 3.52), и поэтому она не может формировать рассматриваемое ускорение а п при Р = 0. Данное рассуждение содержит ошибку, поскольку в формировании горизонтального ускорения, кроме силы Р , принимают участие еще и нормальные реакции Д г шя и /У оиГ Сумма двух этих реакций при малых ф Л равна 1Ч тп + 1У оиг = mg. Следовательно, сила тяжести все-таки участвует в формировании горизонтального ускорения а п, но посредством действия реакций N тп и Ы оиГ

Обсудим теперь, как изменяются нормальные реакции рельсов, перпендикулярные к поверхности пути.

Заметим, что в отличие от случая /7 = 0 реакции возрастают на одно и то же значение тУ 2 И/2р28, которым пренебрегают, поскольку ///25 - величина малая. Однако при строгих рассуждениях опускать этот член для выражений и N ш не следует.

При - > -2-, т.е. при положительном непогашенном ускорении, р 25

реакции внутреннего рельса меньше, чем наружного, однако, разница между ними не столь значительна, как при И = 0.

В случае равенства нулю непогашенного ускорения значения реакции становятся равными /У /ял = IV оШ = mg|2 (при малых И), т.е. возвышение наружного рельса позволяет не только получить Р у = 0, но и уравнять давление на внешний и наружний рельсы. Указанные обстоятельства позволяют достичь более равномерных значений износа для обоих рельсов.

Вместе с тем, вследствие возвышения наружного рельса возникает возможность отрицательного значения Р ", что в реальной системе при неудерживающих связях соответствует процессу скольжения экипажа вдоль оси у г т.е. внутрь кривой пути. Вследствие того же наклона пути может происходить перераспределение реакций N ш и N ои! с преобладающим значением М ш.

Таким образом, проведенные с помощью методов геометрической механики Ньютона исследования движения экипажа в кривой по пути с возвышением наружного рельса позволяют проанализировать состояние системы без дополнительных терминологических гипотез. Никакие силы инерции в рассуждениях не присутствуют.

Рассмотрим теперь, как описывается движение экипажа в такой же кривой с помощью принципа Даламбера.

Применяя этот принцип в формулировке метода кинетостатики так же, как и в предыдущем случае, необходимо приложить к центру масс нормальную (центробежную) силу инерции Р„ п) , направленную в сторону, противоположную нормальному ускорению (рис. 3.53):

При этом система опять-таки останавливается , т.е. экипаж не движется вдоль пути. Поэтому справедливы все уравнения кинето-статические равновесия:

I к = °-X г* = о.

/Л^ыпф, - Г‘ п совф* + Г У[ = 0;

- /Л?С08ф /; - БІПф, + + N^1

Подставляя сюда значение получим ту же систему уравнений, что и система (/) при любых ф /(или (к) при малых И.

Таким образом, применение обоих способов приводит к абсолютно одинаковым результатам. Система уравнений (к ) и система, полученная на основе принципа Даламбера тождественны.

Заметим при этом, что в окончательные результаты никакие силы инерции не входят. Это и понятно, поскольку принцип Даламбера, лежащий в основе метода кинетостатики, является лишь средством составления дифференциальных уравнении движения системы. Вместе с тем видим, что в рассматриваемой задаче применение принципа Даламбера позволило упростить выкладки и может быть рекомендовано при проведении практических расчетов.

Однако подчеркнем еще раз, что в действительности нет силы тУ 2 /р, приложенной к центру масс движущегося экипажа. Поэтому все феномены, связанные с движением в кривой, следует объяснять так, как это было выполнено на основе анализа результатов решения системы (/), или (к).

Укажем в заключение, что «метод Ньютона» и «метод Даламбера» в рассматриваемой задаче применялись лишь с целью составления дифференциальных уравнений движения. При этом на первом этапе не получаем никакой информации, кроме самих дифференциальных уравнений. Последующее решение полученных уравнений и проведенный анализ не связаны с методом получения самих уравнений.

Рис. 3.53.

• out - от англ, outer - внешний.
• inn - от англ, inner - внутренний.
• inn - от англ, inner - внутренний.

Область применения принципа Даламбера – это динамика несвободных механических систем. Даламбер предложил оригинальный метод решения задач динамики, позволяющий использовать достаточно простые уравнения статики. Он писал: «Данное правило приводит все задачи, относящиеся к движению тел, к более простым задачам о равновесии».

В основу данного метода положены силы инерции. Введем это понятие.

Силой инерции называют геометрическую сумму сил противодействия движущейся материальной частицы телам, сообщающим ей ускорение.

Поясним это определение. На рис. 15.1 показана материальная частица М , взаимодей-ствующая с n материальными объектами. На рис. 15.1 показаны силы взаимодействия: без

щие на самом деле не на частицу, а на тела с массами m 1 , …, m n . Ясно, что равнодейст-вующая этой системы сходящихся сил противодействия, R ’ =ΣF’ k , по модулю равна R и направлена противоположно ускорению, т.е.: R ’ =-ma. Данная сила и является силой инерции, о которой говорится в определении. В дальнейшем будем ее обозначать буквой Ф , т.е.:

В общем случае криволинейного движения точки ускорение представляет собой сумму двух составляющих:

Из (15.4) видно, что составляющие силы инерции направлены противоположно направлениям соответствующих составляющих ускорения точки. Модули составляющих силы инерции определяют по следующим формулам:

где ρ – радиус кривизны траектории точки.

После определения силы инерции рассмотрим принцип Даламбера .

Пусть дана механическая система, состоящая из n материальных точек (рис. 15.2). Возьмем одну из них. Все силы, действующие на k -ю точку, классифицируем по группам:

Выражение (15.6) отражает сущность принципа Даламбера, записанного для одной мате-риальной точки. Повторяя проделанные выше действия по отношению к каждой точке механической системы, можно записать систему n уравнений, подобных (15.6), что и будет являться математической записью принципа Даламбера применительно к механи-ческой системе. Таким образом, сформулируем принцип Даламбера для механической системы:

Если к каждой точке механической системы в любой момент времени, кроме фактически действующих на нее внешних и внутренних сил, приложить соответствующую силу инерции, то вся система сил будет приведена в равновесное состояние и к ней можно будет применять все уравнения статики.

Следует иметь в виду:

Принцип Даламбера можно применять для динамических процессов, протекающих в

инерциальных системах отсчета. Этого же требования, как отмечалось ранее, следует придерживаться и при применении законов динамики;

Силы инерции, которые, согласно методики принципа Даламбера, необходимо прило-

жить к точкам системы, на самом деле на них не действуют. Действительно, если бы они существовали, то вся совокупность сил, приложенных к каждой точке, находилась бы в равновесии, и отсутствовала бы сама постановка задачи динамики.

Для равновесной системы сил можно записать следующие уравнения:

т.е. геометрическая сумма всех сил системы, включая и силы инерции, и геометрическая сумма моментов всех сил относительно произвольного центра равны нулю.

Учитывая свойства внутренних сил системы:

выражения (15.7) можно заметно упростить.

Вводя обозначения главного вектора

и главного момента

выражения (15.7) предстанут в виде:

Уравнения (15.11) являются прямым продолжением принципа Даламбера, но не содержат внутренних сил, что является их несомненным преимуществом. Их использование наиболее эффективно при исследовании динамики механических систем, состоящих из твердых тел.

Принцип Даламбера устанавливает единый подход к исследованию движения материального объекта вне зависимости от характера налагаемых на это движение условий. При этом динамическим уравнениям движения придается вид уравнений равновесия. Отсюда второе название принципа Даламбера – метод кинетостатики.

Для материальной точки в любой момент движения геометрическая сумма приложенных активных сил, реакций связей и условно присоединенной силы инерции равна нулю (рис. 48).

Где Ф-сила инерции материальной точки, равная:

. (15.2)

Рисунок 48

Рисунок 49

16. Принцип даламбера для механическойй системы. Главный вектор и главный момент сил инерции.

Если к каждой точке механической системы в любой момент движения условно приложить соответствующую силы инерции, то в любой момент движения геометрическая сумма действующих на точку активных сил, реакций связей и силы инерции равна нулю.

Уравнение, выражающее принцип Даламбера для механической системы, имеет вид
. (16.1) Сумма моментов этих уравновешенных сил относительно любого центра также равна нулю
. (16.2) При применении принципа Даламбера уравнения движения системы составляются в форме уравнений равновесия. С помощью уравнений (16.1) и (16.2) можно определить динамические реакции.

ПРИМЕР 22.

Вертикальный вал АК, вращающийся с постоянной угловой скоростью =10с -1 , закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке К (рис. 52). К валу в точке Е прикреплены тонкий однородный ломаный стержень массой m=10кг и длиной 10b, состоящий из частей 1 и 2, где b=0,1м, а их массы m 1 и m 2 пропорциональны длинам. Стержень прикреплен к валу шарниром в точке Е и невесомым стержнем 4 жестко закрепленным в точке В. Определить реакцию шарнира Е и стержня 4.

РЕШЕНИЕ.

1. Длина ломаного стержня равна 10b. Выразим массы частей стержня, пропорциональные длинам: m 1 =0,4m; m 2 =0,3m; m 3 =0,3m.

Рисунок 42

Если тело имеет плоскость симметрии и вращается вокруг неподвижной оси z, перпендикулярной плоскости симметрии и не проходящей через центр масс тела, сила инерции всех точек тела приводится к равнодействующей, равной главному вектору сил инерции системы, но приложенной к некоторой точке К (рис. 54). Линия действия равнодействующей отстоит от точки О на расстоянии
. (16.10)

При плоском движении тела, имеющего плоскость симметрии, тело движется вдоль этой плоскости (рис.55). Главный вектор и главный момент сил инерции также лежат в этой плоскости и определяются по формулам:

Рисунок 55

.

Знак минус показывает, что направление момента
противоположно направлению углового ускорения тела.

ПРИМЕР 23.

Определить силу, стремящуюся разорвать равномерно вращающийся маховик массой m, считая его массу распределенной по ободу. Радиус маховика r, угловая скорость (рис. 56).

РЕШЕНИЕ.

1. Искомая сила является внутренней.-- равнодействующая сил инерции элементов обода.
. Выразим координату х с центра масс дуги обода с центральным углом
:
, тогда
.

2. Для определения силы применим принцип Даламбера в проекции на ось х:
;
, откуда
.

3. Если маховик – сплошной однородный диск, то
, тогда
.

Если рассматривать систему, которая состоит из нескольких материальных точек, выделяя одну определенную точку с известной массой, то под действием приложенных к ней внешних и внутренних сил она получает некоторое ускорение по отношению к инерциальной системе отсчета. Среди таких сил могут быть как активные силы, так и реакции связи.

Сила инерции точки - это векторная величина, которая равна по модулю произведению массы точки на ее ускорение. Данную величину иногда упоминают как даламберовскую силу инерции, она направлена противоположно ускорению. В этом случае обнаруживается следующее свойство движущейся точки: если в каждый момент времени прибавить силу инерции к фактически действующим на точку силам, то полученная система сил будет уравновешена. Так можно сформулировать принцип Даламбера для одной материальной точки. Данное утверждение полностью соответствует второму закону Ньютона.

Принципы Даламбера для системы

Если повторить все рассуждения для каждой точки в системе, они приводят к следующему выводу, который выражает принцип Даламбера, сформулированный для системы: если в любой момент времени приложить к каждой из точек в системе, помимо фактически действующих внешних и внутренних сил, то данная система будет находиться в равновесии, поэтому к ней можно применять все уравнения, которые используются в статике.

Если применять принцип Даламбера для решения задач динамики, то уравнения движения системы можно составить в форме известных нам уравнений равновесия. Данный принцип значительно упрощает расчеты и делает подход к решению задач единым.

Применение принципа Даламбера

Следует учитывать, что на движущуюся точку в механической системе действуют только внешние и внутренние силы, которые возникают как результат взаимодействия точек между собой, а также с телами, не входящими в данную систему. Точки движутся с определенными ускорениями под действием всех этих сил. Силы инерции не действуют на движущиеся точки, в противном случае они бы двигались без ускорения или были в покое.

Силы инерции вводятся лишь для того, чтобы составить уравнения динамики при помощи более простых и удобных методов статики. Учитывается также, что геометрическая сумма внутренних сил и сумма их моментов равна нулю. Использование уравнений, которые вытекают из принципа Даламбера, делает процесс решения задач проще, так как данные уравнения уже не содержат внутренних сил.