Расчет тонкостенных сосудов формула лапласа. Расчет тонкостенных сосудов. Расчет тонкостенных оболочек

В инженерной практике широкое применение находят такие конструкции, как цистерны, водонапорные резервуары, газгольдеры, воздушные и газовые баллоны, купола зданий, аппараты химического машиностроения, части корпусов турбин и реактивных двигателей и т.д. Все эти конструкции с точки зрения их расчета на прочность и жесткость могут быть отнесены к тонкостенным сосудам (оболочкам) (Рис.13.1,а).

Характерной особенностью большинства тонкостенных сосудов является то, что по форме они представляют тела вращения, т.е. их поверхность может быть образована вращением некоторой кривой вокруг осиО -О . Сечение сосуда плоскостью, содержащей ось О -О , называется меридиональным сечением , а сечения, перпендикулярные к меридиональным сечениям, называются окружными . Окружные сечения, как правило, имеют вид конуса. Показанная на рис 13.1б нижняя часть сосуда отделена от верхней окружным сечением. Поверхность, делящая толщину стенок сосуда пополам, называется срединной поверхностью . Считается, что оболочка является тонкостенной, если отношение наименьшего главного радиуса кривизны в данной точке поверхности к толщине стенки оболочки превышает число 10
.

Рассмотрим общий случай действия на оболочку какой-либо осесимметричной нагрузки, т.е. такой нагрузки, которая не меняется в окружном направлении и может меняться лишь вдоль меридиана. Выделим из тела оболочки двумя окружными и двумя меридиональными сечениями элемент (Рис.13.1,а). Элемент испытывает растяжение во взаимно перпендикулярных направлениях и искривляется. Двустороннему растяжению элемента соответствует равномерное распределение нормальных напряжений по толщине стенки и возникновение в стенке оболочки нормальных усилий. Изменение кривизны элемента предполагает наличие в стенке оболочки изгибающих моментов. При изгибе в стенке балки возникают нормальные напряжения, меняющиеся по толщине стенки.

При действии осесимметричной нагрузки влиянием изгибающих моментов можно пренебречь, так как преобладающее значение имеют нормальные силы. Это имеет место тогда, когда форма стенок оболочки и нагрузка на нее таковы, что возможно равновесие между внешними и внутренними усилиями без появления изгибающих моментов. Теория расчета оболочек, построенная на предположении, что нормальные напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует, называется безмоментной теорией оболочек . Безмоментная теория хорошо работает, если оболочка не имеет резких переходов и жестких защемлений и, кроме того, не нагружена сосредоточенными силами и моментами. Кроме того, эта теория дает более точные результаты, чем меньше толщина стенки оболочки, т.е. чем ближе к истине предположение о равномерном распределении напряжений по толщине стенки.

При наличии сосредоточенных сил и моментов, резких переходов и защемлений сильно усложняется решение задачи. В местах крепления оболочки и в местах резких изменений формы возникают повышенные напряжения, обусловленные влиянием изгибающих моментов. В этом случае применяется так называемая моментная теория расчета оболочек . Следует отметить, что вопросы общей теории оболочек выходят далеко за рамки сопротивления материалов и изучается в специальных разделах строительной механики. В настоящем пособии при расчете тонкостенных сосудов рассматривается безмоментная теория для случаев, когда задача определения напряжений, действующих в меридиональном и окружном сечениях, оказывается статически определимой.

13.2. Определение напряжений в симметричных оболочках по безмоментной теории. Вывод уравнения Лапласа

Рассмотрим осесимметричную тонкостенную оболочку, испытывающую внутреннее давление от веса жидкости (Рис.13.1,а). Двумя меридиональными и двумя окружными сечениями выделим из стенки оболочки бесконечно малый элемент и рассмотрим его равновесие (Рис.13.2).

В меридиональных и окружных сечениях касательные напряжения отсутствуют ввиду симметрии нагрузки и осутствия взаимных сдвигов сечений. Следовательно, на выделенный элемент будут действовать только главные нормальные напряжения: меридиональное напряжение
иокружное напряжение . На основании безмоментной теории будем считать, что по толщине стенки напряжения
ираспределены равномерно. Кроме того, все размеры оболочки будем относить к срединной поверхности ее стенок.

Срединная поверхность оболочки представляет собой поверхность двоякой кривизны. Радиус кривизны меридиана в рассматриваемой точки обозначим
, радиус кривизны срединной поверхности в окружном направлении обозначим. По граням элемента действуют силы
и
. На внутреннюю поверхность выделенного элемента действует давление жидкости, равнодействующая которого равна
. Спроектируем приведенные выше силы на нормаль
к поверхности:

Изобразим проекцию элемента на меридиональную плоскость (Рис.13.3) и на основании этого рисунка запишем в выражении (а) первое слагаемое. Второе слагаемое записывается по аналогии.

Заменяя в (а) синус его аргументом ввиду малости угла и разделив все члены уравнения (а) на
, получим:

(б).

Учитывая, что кривизны меридионального и окружного сечений элемента равны соответственно
и
, и подставляя эти выражения в (б) находим:

. (13.1)

Выражение (13.1) представляет собой уравнения Лапласа, названного так в честь французского ученого, который получил его в начале XIXвека при изучении поверхностного натяжения в жидкостях.

В уравнение (13.1) входят два неизвестных напряжения и
. Меридиональное напряжение
найдем, составив уравнение равновесия на ось
сил, действующих на отсеченную часть оболочки (Рис.12.1,б). Площадь окружного сечения стенок оболочки посчитаем по формуле
. Напряжения
ввиду симметрии самой оболочки и нагрузки относительнго оси
распределены по площади равномерно. Следовательно,

, (13.2)

где вес части сосуда и жидкости, лежащих ниже рассматриваемого сечения;давление жидкости, по закону Паскаля одинаковое во всех направлениях и равное, гдеглубина рассматриваемого сечения, авес единицы объема жидкости. Если жидкость хранится в сосуде под некоторым избыточным в сравнении с атмосферным давлением, то в этом случае
.

Теперь, зная напряжение
из уравнения Лапласа (13.1) можно найти напряжение.

При решении практических задач ввиду того, что оболочка тонкая, можно вместо радиусов срединной поверхности
иподставлять радиусы наружной и внутренней поверхностей.

Как уже отмечалось окружные и меридиональные напряжения и
являются главными напряжениями. Что касается третьего главного напряжения, направление которого нормально к поверхности сосуда, то на одной из поверхностей оболочки (наружной или внутреннейв зависимости от того, с какой стороны действует давление на оболочку) оно равно, а на противоположной – нулю. В тонкостенных оболочках напряженияи
всегда значительно больше. Это означает, что величиной третьего главного напряжения можно пренебречь по сравнению си
, т.е. считать его равным нулю.

Таким образом, будем считать, что материал оболочки находится в плоском напряженном состоянии. В этом случае для оценки прочности в зависимости от состояния материала следует пользоваться соответствующей теорией прочности. Например, применив четвертую (энергетическую) теорию, условие прочности запишем в виде:

Рассмотрим несколько примеров расчета безмоментнтых оболочек.

Пример 13.1. Сферический сосуд находится под действием равномерного внутреннего давления газа(Рис.13.4). Определить напряжения действущие в стенке сосуда и оценить прочность сосуда с использованием третьей теории прочности. Собственным весом стенок сосуда и весом газа пренебрегаем.

1. Ввиду круговой симметрии оболочки и осесимметричности нагрузки напряжения и
одинаковы во всех точках оболочки. Полагая в (13.1)
,
, а
, получаем:

. (13.4)

2. Выполняем проверку по третьей теории прочности:

.

Учитывая, что
,
,
, условие прочности принимае вид:

. (13.5)

Пример 13.2. Цилиндрическая оболочка находится под действием равномерного внутреннего давления газа(Рис.13.5). Определить окружные и меридиональные напряжения, действующие в стенке сосуда, и оценить его прочность с использованием четвертой теории прочности. Собственным весом стенок сосуда и весом газа пренебречь.

1. Меридианами в цилиндрической части оболочки являются образующие, для которых
. Из уравнения Лапласа (13.1) находим окружное напряжение:

. (13.6)

2. По формуле (13.2) находим меридиональное напряжение, полагая
и
:

. (13.7)

3. Для оценки прочности принимаем:
;
;
. Условие прочности по четвертой теории имеет вид (13.3). Подставляя в это условие выражения для окружных и меридиональных напряжений (а) и (б), получаем

Пример 12.3. Цилиндрический резервуар с коническим днищем находится под действием веса жидкости (Рис.13.6,б). Установить законы изменения окружных и меридиональных напряжений в пределах конической и цилиндрической части резервуара, найти максимальные напряженияи
и построить эпюры распределения напряжений по высоте резервуара. Весом стенок резервуара пренебречь.

1. Находим давление жидкости на глубине
:

. (а)

2. Определяем окружные напряжения из уравнения Лапласа, учитывая, что радиус кривизны меридианов (образующих)
:

. (б)

Для конической части оболочки

;
. (в)

Подставляя (в) в (б) получим закон изменения окружных напряжений в пределах конической части резервуара:

. (13.9)

Для цилиндрической части, где
закон распределения окружных напряжений имеет вид:

. (13.10)

Эпюра показана на рис.13.6,а. Для конической части эта эпюра параболическая. Ее математический максимум имеет место в середине общей высоты при
. При
он имеет условное значение, при
максимум напряжений попадает в пределы конической части и имеет реальное значение.

Задание 2. Гидростатика

Вариант 0

Тонкостенный сосуд, состоящий из двух цилиндров диаметрами D и d, нижним открытым концом опущен под уровень жидкости Ж в резервуаре А и покоится на опорах С, расположенных на высоте b над этим уровнем. Определить силу, воспринимаемую опорами, если в сосуде создан вакуум, обусловивший поднятие жидкости Ж в нем на высоту (а + b). Масса сосуда равна m. Как влияет на эту силу изменение диаметра d? Численные значения указанных величин приведены в таблице 2.0.

Таблица 2.0

Вариант 1

Цилиндрический сосуд, имеющий диаметр D и наполненный жидкостью до высоты а, висит без трения на плунжере диаметром d (рис.2.1). Определить вакуум V, обеспечивающий равновесие сосуда, если его масса с крышками m. Как влияют на полученный результат диаметр плунжера и глубина его погружения в жидкость? Рассчитать силы в болтовых соединениях В и С сосуда. Масса каждой крышки 0,2 m. Численные значения указанных величин приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Вариант 2

Закрытый резервуар разделен на две части плоской перегородкой, имеющей на глубине h квадратное отверстие со стороной а, закрытое крышкой (рис. 2.2). Давление над жидкостью в левой части резервуара определяется показанием манометра р М, давление воздуха в правой части – показанием вакуумметра р V . Определить величину силы гидростатического давления на крышку. Численные значения указанных величин приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Цель: сформировать представление об особенностях деформирования и расчета на прочность тонкостенных оболочек и толстостенных цилиндров.

Расчет тонкостенных оболочек

Оболочка - это элемент конструкции, ограниченный поверхностями, расположенными на близком расстоянии друг от друга. Оболочка называется тонкостенной, если для нее выполняется условие р/h> 10, где h - толщина оболочки; р- радиус кривизны срединной поверхности, которая представляет собой геометрическое место точек, равноотстающих от обеих поверхностей оболочки.

К деталям, моделью формы которых принимают оболочку, относятся автомобильные покрышки, сосуды, гильзы ДВС, несущие кузова автомобилей, фюзеляжи самолетов, корпуса кораблей, купола перекрытий и т. д.

Следует отметить, что оболочечные конструкции во многих случаях являются оптимальными, т. к. на их изготовление затрачивается минимум материалов.

Характерной чертой большинства тонкостенных оболочек является то, что по форме они представляют собой тела вращения, т. е. каждая их поверхность может быть образована вращением некоторой кривой (профиля) вокруг неподвижной оси. Такие тела вращения называются осесимметричными. На рис. 73 приведена оболочка, срединная поверхность которой получена вращением профиля ВС вокруг оси АС.

Выделим из срединной поверхности в окрестностях точки К. , лежащей на этой поверхности, бесконечно малый элемент 1122 двумя меридиональными плоскостями АСт и АСт 2 с углом d(p между ними и двумя нормальными к меридианам сечениями HO t и 220 2 .

Меридиональным называется сечение (или плоскость), проходящее через ось вращения АС. Нормальным называется сечение, перпендикулярное меридиану ВС.

Рис. 73.

Нормальные сечения для рассматриваемого сосуда являются коническими поверхностями с вершинами 0 и О г, лежащими на оси АС.

Введем следующие обозначения:

р т - радиус кривизны дуги 12 в меридиональном сечении;

р, - радиус кривизны дуги 11 в нормальном сечении.

В общем случае р т и р, являются функцией угла в - угла между осью АС и нормалью 0,1 (см. рис. 73).

Особенностью работы оболочечных конструкций является то, что все ее точки, как правило, находятся в сложном напряженном состоянии и для расчетов оболочек применяют теории прочности.

Для определения напряжений, возникающих в тонкостенной оболочке, обычно пользуются так называемой безмоментной теорией. По этой теории полагают, что среди внутренних усилий отсутствуют изгибающие моменты. Стенки оболочки работают только на растяжение (сжатие), а напряжения равномерно распределены по толщине стенки.

Эта теория применима в том случае, если:

• 1) оболочка представляет собой тело вращения;
• 2) толщина стенки оболочки S весьма мала по сравнению с радиусами кривизны оболочки;
• 3) нагрузка, газовое или гидравлическое давление распределены полярно симметрично относительно оси вращения оболочки.

Совокупность этих трех условий позволяет принять гипотезу о неизменности напряжения по толщине стенки в нормальном сечении. Основываясь на этой гипотезе, заключаем, что стенки оболочки работают только на растяжение или сжатие, так как изгиб связан с неравномерным распределением нормальных напряжений по толщине стенки.

Установим положение главных площадок, т. е. тех площадок (плоскостей), в которых отсутствуют касательные напряжении (т= 0).

Очевидно, что любое меридиональное сечение разделяет тонкостенную оболочку на две части, симметричные как в геометрическом, так и в силовом соотношении. Так как соседние частицы деформируются одинаково, то между сечениями полученных двух частей отсутствует сдвиг, значит, в меридиональной плоскости касательные напряжения отсутствуют (т = 0). Следовательно, она является одной из главных площадок.

В силу закона парности не будет касательных напряжений и в сечениях, перпендикулярных меридиональному сечению. Следовательно, нормальное сечение (площадка) также является главным.

Третья главная площадка перпендикулярна двум первым: в наружной точке К (см. рис. 73) она совпадает с боковой поверхкостью оболочки, в ней г = о = 0, таким образом, в третьей главной площадке о 3 = 0. Поэтому материал в точке К испытывает плоское напряженное состояние.

Для определения главных напряжений выделим в окрестностях точки К бесконечно малый элемент 1122 (см. рис. 73). На гранях элемента возникают только нормальные напряжения а„ и о, . Первое из них а т называется меридиональным, а второе а, - окружным напряжением, которые являются главными напряжениями в данной точке.

Вектор напряжения а, направлен по касательной к окружности, полученной от пересечения срединной поверхности нормальным сечением. Вектор напряжения о„ направлен по касательной к меридиану.

Выразим главные напряжения через нагрузку (внутреннее давление) и геометрические параметры оболочки. Для определения а т и а, нужны два независимых уравнения. Меридиональное напряжение о„ можно определить из условия равновесия отсеченной части оболочки (рис. 74, а):

Подставив г-р т sin 9, получим

Второе уравнение получаем из условия равновесия элемента оболочки (рис. 74, б). Если спроектировать все силы, действующие на элемент, на нормаль и приравнять полученное выражение нулю, то получаем

Ввиду малых углов принимаем

В результате проведенных математических преобразований получаем уравнение следующего вида:

Данное уравнение носит название уравнения Лапласа и устанавливает зависимость между меридианальным и окружным напряжениями в любой точке тонкостенной оболочки и внутренним давлением.

Так как опасный элемент тонкостенной оболочки находится в плоском напряженном состоянии, на основании полученных результатов с т и a h а также исходя из зависимости

Рис. 74. Фрагмент тонкостенной осесимметричной оболочки: а ) схема нагружения; б) напряжения, действующие по граням выделенного элемента оболочки

Так, по третьей теории прочности: а" 1 =&-ст ъ

Таким образом, для цилиндрических сосудов радиуса г и толщины стенок И получаем

исходя из уравнения равновесия отсеченной части, а„

следовательно, а, а т, = 0.

При достижении предельного давления цилиндрический сосуд (в том числе все трубопроводы) разрушается по образующей.

Для сферических сосудов (р, = р т = г) применение уравнения Лапласа дает следующие результаты:

_ Р г рг _ рг

о, = о т = -, следовательно, = а 2 = и„ = -,

2 h 2 h 2 h

Из полученных результатов становится очевидно, что по сравнению с цилиндрическим сосудом сферический является более оптимальной конструкцией. Предельное давление в сферическом сосуде в два раза больше.

Рассмотрим примеры расчета тонкостенных оболочек.

Пример 23. Определить необходимую толщину стенок ресивера, если внутреннее давление р- 4 атм = 0,4 МПа; R = 0,5 м; [а]= 100 МПа (рис. 75).

Рис. 75.

• 1. В стенке цилиндрической части возникают меридианаль- ные и окружные напряжения, связанные уравнением Лапласа: а т о, Р
• -+-=-. Необходимо найти толщину стенки п.

Рт Р, h

2. Напряженное состояние точки В - плоское.

Условие прочности: er" =сг 1 -ет 3 ?[

• 3. Необходимо выразить и о$ через сг„ и а, в буквенном виде.
• 4. Величину а„, можно найти из условия равновесия отсеченной части ресивера. Величину напряжения а, - из условия Лапласа, где р т = со.
• 5. Подставить найденные величины в условие прочности и выразить через них величину И.
• 6. Для сферической части толщина стенки h определяется аналогично, с учетом р„= р,- R.

1. Для цилиндрической стенки:

Таким образом, в цилиндрической части ресивера о, > о т и 2 раза.

Таким образом, h = 2 мм - толщина цилиндрической части ресивера.

Таким образом, h 2 = 1 мм - толщина сферической части ресивера.

Расчет тонкостенных сосудов по безмоментной теории

Задача 1.

Давление воздуха в цилиндре амортизационной стойки шасси самолета в положении на стоянке равно р =20 МПа. Диаметр цилиндра d =….. мм, толщина стенки t =4 мм. Определить главные напряжения в цилиндре на стоянке и после взлета, когда давление в амортизаторе ………………….

Ответ: (на стоянке); (после взлета).

Задача 2.

Вода поступает в водяную турбину по трубопроводу, наружный диаметр которого у машинного здания равен …. м , а толщина стенки t =25 мм. Машинное здание расположена на 200 м ниже уровня озера, из которого забирается вода. Найти наибольшее напряжение в ……………………….

Ответ:

Задача 3.

Проверить прочность стенки ……………………………диаметром ….. м, находящегося под рабочим давлением р =1 МПа, если толщина стенки t =12 мм, [σ]=100 МПа. Применить IV гипотезу прочности.

Ответ:

Задача 4.

Котел имеет диаметр цилиндрической части d =…. м и находится под рабочим давлением р=….. МПа. Подобрать толщину стенки котла при допускаемом напряжении [σ]=100 МПа, используя III гипотезу прочности. Какая была бы необходимая толщина при использовании IV гипотезы прочности?

Ответ:

Задача 5.

Стальная сферическая оболочка диаметром d =1 м и толщиной t =…. мм нагружена внутренним давлением р =4 МПа. Определить……………… напряжения и ……………….. диаметра.

Ответ: мм.

Задача 6.

Цилиндрический сосуд диаметром d =0,8 м имеет стенку толщиной t =… мм. Определить величину допускаемого давления в сосуде, исходя из IV гипотезы прочности, если [σ]=…… МПа.

Ответ: [р ]=1,5 МПа.

Задача 7.

Определить ………………………….. материала цилиндрической оболочки, если при нагружении ее внутренним давлением деформации в направлении датчиков составили

Ответ: ν=0,25.

Задача 8.

Дюралюминиевая труба толщиной мм и внутренним диаметром мм усилена плотно надетой на нее стальной рубашкой толщиной мм. Найти предельное ………………………..для двухслойной трубы по пределу текучести и ……………… напряжение между слоями в этот момент, полагая Е ст =200 ГПа, Е д =70 ГПа,

Ответ:

Задача 9.

Водовод диаметром d =…. мм в период пуска имел толщину стенки t =8 мм. В процессе эксплуатации вследствие коррозии толщина местами……………………... Какой максимальный столб воды может выдержит трубопровод при двукратным запасе прочности, если предел текучести материала трубы равен

Задача 10.

Газопровод диаметром d =……. мм и толщиной стенки t =8 мм пересекает водохранилище при максимальной………………………….., достигающей 60 м. В процессе эксплуатации газ перекачивается под давлением р =2,2 МПа, а при строительстве подводного перехода давление в трубе отсутствует. Чему равны наибольшие напряжения в трубопроводе и когда они возникают?

Задача 11.

Тонкостенный цилиндрический сосуд имеет полусферические днища. Каково должно быть соотношение между толщинами цилиндрической и сферической частей, чтобы в зоне перехода не возникло………………….?

Задача 12.

При изготовлении железнодорожных цистерн их испытывают под давлением р =0,6 МПа. Определить …………………………в цилиндрической части и в днище цистерны, принимая давление при испытаниях за расчетное. Расчет вести по III гипотезы прочности.

Задача 13.

Между двумя концентрически расположенными бронзовыми трубами протекает жидкость под давлением р =6 МПа. Толщина наружной трубы равна При какой толщине внутренней трубы обеспечивается …………………….. обеих труб? Чему равны при этом наибольшие напряжения?

Задача 14.

Определите ………………………… материала оболочки, если нагружении ее внутренним давлением деформации в направлении датчиков составили

Задача 15.

Тонкостенный сферический сосуд диаметром d =1 м и толщиной t =1 см находится под действием внутреннего давления и внешнего Каков ………………….. сосуда П т , если

Будет ли правильным следующее решение:

Задача 16.

Тонкостенная труба с заглушенными концами находится под действием внутреннего давления р и изгибающего момента М. Пользуясь III гипотезой прочности, исследуйте …………………… напряжения от величины М при заданном р.

Задача 17.

На какой глубине находятся точки с ………………….. меридиональными и окружными напряжениями для приведенного справа конического сосуда? Определите величины этих напряжений, полагая удельный вес продукта равен γ=…. кН/м 3 .

Задача 18.

Сосуд подвергается давлению газа р =10 МПа. Найти……………………, если [ σ ]=250 МПа.

Ответ: t =30 мм.

Задача 19.

Вертикально стоящий цилиндрический резервуар с полусферическим днищем доверху заполнен водой. Толщина боковых стенок и днища t =2 мм. Определить ………………………. напряжения в цилиндрической и сферической частях конструкции.

Ответ:

Задача 20.

Резервуар цилиндрической формы дополнен до глубины Н 1 =6 м жидкостью с удельным весом а поверх не – на толщину Н 2 =2 м – водой. Определить …………………….. резервуара у дна, если [ σ ]=60 МПа.

Ответ: t =5 мм.

Задача 21.

Небольшой газгольдер для светильного газа имеет толщину стенок t =5 мм. Найти ………………………………… верхнего и нижнего сосудов.

Ответ:

Задача 22.

Поплавок клапана испытательной машины представляет собой замкнутый цилиндр из алюминиевого сплава диаметром d =….. мм. Поплавок подвергается ………………………давлением р =23 МПа. Определить толщину стенки поплавка, используя четвертую гипотезу прочности, если [σ]=200 МПа.

Ответ: t =5 мм.

Задача 23.

Тонкостенный сферический сосуд с диаметром d =1 м и толщиной t =1 см находится под действием внутреннего ……………… и внешнего Каков ……………….. стенок сосуда если

Ответ: .

Задача 24.

Определить наибольшие ………………… и окружные напряжения в торообразном баллоне, если р=…. МПа, t =3 мм, а =0,5 мм; d =0,4 м.

Ответ:

Задача 25.

Стальной полусферический сосуд радиуса R =… м заполнен жидкостью с удельным весом γ=7,5 кН/м 3 . Принимая ……………………. 2 мм и пользуясь III гипотезой прочности, определить необходимую толщину стенки сосуда, если [σ]=80 МПа.

Ответ: t =3 мм.

Задача 26.

Определить, …………………… находятся точки с наибольшими меридиональными и окружными напряжениями и вычислить эти напряжения, если толщина стенки t =… мм, удельный вес жидкости γ=10 кН/м 3 .

Ответ: на глубине 2 м; на глубине 4 м.

Задача 27.

Цилиндрический сосуд с коническим днищем заполнен жидкостью с удельным весом γ=7 кН/м 3 . Толщина стенок постоянна и равна t =…мм. Определить …………………………….. и окружные напряжения.

Ответ:

Задача 28.

Цилиндрический сосуд с полусферическим днищем заполнен жидкостью с удельным весом γ=10 кН/м 3 . Толщина стенок постоянна и равна t =… мм. Определить наибольшее напряжение в стенке сосуда. Во сколько раз увеличится это напряжение, если длину………………………………, сохранив неизменными все остальные размеры?

Ответ: увеличится в 1,6 раза.

Задача 29.

Для хранения нефти с удельным весом γ=9,5 кН/м 3 используется сосуд в виде усеченного конуса с толщиной стенки t =10 мм. Определить наибольшие …………………………. напряжения в стенке сосуда.

Ответ:

Задача 30.

Тонкостенный конический колокол находится под слоем воды. Определить …………………………….. и окружные напряжения, если давление воздуха на поверхность под колоколом толщина стенки t =10 мм.

Ответ:

Задача 31.

Оболочка толщиной t =20 мм, имеющая форму эллипсоида вращения (Ох – ось вращения), нагружена внутренним давлением р=…. МПа. Найти ………………….. в продольном и поперечном сечениях.

Ответ:

Задача 32.

Пользуясь третьей гипотезой прочности, проверить прочность сосуда, имеющего форму параболоида вращения с толщиной стенки t =… мм, если удельные вес жидкости γ=10 кН/м 3 , допускаемое напряжение [σ]=20 МПа, d = h =5 м. Прочность проверить по высоте…………………………...

Ответ: т.е. прочность обеспечена.

Задача 33.

Цилиндрический сосуд со сферическими днищами предназначен для хранения газа под давлением р =… МПа. Под ………………… можно будет хранить газ в сферическом сосуде той же емкости при неизменном материале и толщине стенки? Какая при этом достигается экономия материала?

Ответ: экономия составит 36%.

Задача 34.

Цилиндрическая оболочка с толщиной стенки t =5 мм сжимается силой F =….. кН. Образующие оболочки из-за неточности изготовления получили малое…………………………. Пренебрегая влиянием этого искривления на меридиональные напряжения, вычислить в середине высоты оболочки в предположении, что образующие искривлены по одной полуволне синусоиды, а f =0,01 l ; l = r .

Ответ:

Задача 35.

Вертикальный цилиндрический сосуд предназначен для хранения жидкости объема V и удельного веса γ. Суммарная толщина верхнего и нижнего оснований, назначаемая по конструктивным соображениям, равна Определить наивыгоднейшую высоту резервуара Н опт , при которой масса конструкции будет минимальна. Принимая высоту резервуара, равной Н опт , найти ………………………….. части, полагая [σ]=180 МПа, Δ=9 мм, γ=10 кН/м 3 , V =1000 м 3 .

Ответ: Н опт =9 м, мм.

Задача 36.

Длинная тонкая трубка толщиной t =…. мм надета с натягом Δ на абсолютно жесткий стержень диаметра d =….. мм. …………… н еобходимо приложить к трубке, чтобы снять ее со стержня, если Δ=0,0213 мм; f =0,1; l =10 см, Е=100 ГПа, ν=0,35.

Ответ: F =10 кН.

Задача 37.

Тонкостенный цилиндрический сосуд со сферическими днищами подвергается изнутри давлению газа р =7 МПа. Путем ……………………………….. диаметром Е 1 =Е 2 =200 ГПа.

Ответ: N 02 =215 Н.

Задача 38.

Среди прочих конструктивных элементов в авиационной и в ракетной технике используются баллоны высокого давления. Обычно они имеют цилиндрическую или сферическую форму и для них, как и для прочих конструктивных узлов, чрезвычайно важно соблюсти требование минимального веса. Предлагается конструкция фасонного цилиндра, показанная на рисунке. Стенки баллона состоят из нескольких цилиндрических секций, связанных радиальными стенками. Поскольку цилиндрические стенки имеют небольшой радиус, напряжения в них уменьшается, и можно надеяться, что несмотря на увеличение веса за счет радиальных стенок, общий вес конструкции окажется меньшим, чем для обыкновенного цилиндра, имеющего тот же объем…………………………….?

Задача 39.

Определить ……………………… тонкостенной оболочки равного сопротивления, содержащей жидкость удельно веса γ.

Расчет толстостенных труб

Задача 1.

Какое давление (внутреннее или наружное) ……………………. трубы? Во сколько раз наибольшие эквивалентные напряжения по III гипотезе прочности в одном случае больше или меньше, чем в другом, если величины давления одинаковы? Будут ли равны наибольшие радиальные перемещения в обоих случаях?

Задача 2.

Две трубы отличаются только размерами поперечного сечения: 1-я труба – а =20 см, b =30 см; 2-я труба – а =10 см, b =15 см. Какая из труб обладает ……………………… способностью?

Задача 3.

Толстостенная труба с размерами а =20 см и b =40 см не выдерживает заданное давление. С целью повышения несущей способности предлагаются два варианта: 1) увеличить в П раз наружный радиус b ; 2) уменьшить в П раз внутренний радиус а . Какой из вариантов дает ……………………………. при одинаковом значении П?

Задача 4.

Труба с размерами а =10 см и b =20 см выдерживает давление р=….. МПа. Насколько (в процентах) ……………….. несущая способность трубы, если наружный радиус увеличить в … раза?

Задача 5.

В конце первой мировой войны (1918 г.) Германии была изготовлена сверхдальнобойная пушка для обстрела Парижа с расстояния 115 км. Это была стальная труба 34 м длиной и толщиной стенок в казенной части 40 см. Весило орудие 7,5 МН. Его 120-килограммовые снаряды имели метр в длину при диаметре 21 см. Для заряда употреблялось 150 кг пороха, развивавшего давление в 500 МПа, которое выбрасывало снаряд с начальной скоростью 2 км/с. Каков должен быть……………………………., использованной для изготовления ствола орудия, при не менее чем полуторакратным запасе прочности?