Как найти первообразную функцию точке. Калькулятор онлайн.Вычислить неопределенный интеграл (первообразную)
Для каждого математического действия существует обратное ему действие. Для действия дифференцирования (нахождения производных функций) тоже существует обратное действие — интегрирование. Посредством интегрирования находят (восстанавливают) функцию по заданной ее производной или дифференциалу. Найденную функцию называют первообразной .
Определение. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство: F′(x)=f (x) .
Примеры. Найти первообразные для функций: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.
1) Так как (х²)′=2х, то, по определению, функция F (x)=x² будет являться первообразной для функции f (x)=2x.
2) (sin3x)′=3cos3x. Если обозначить f (x)=3cos3x и F (x)=sin3x, то, по определению первообразной, имеем: F′(x)=f (x), и, значит, F (x)=sin3x является первообразной для f (x)=3cos3x.
Заметим, что и (sin3x+5 )′=3cos3x , и (sin3x-8,2 )′=3cos3x , ... в общем виде можно записать: (sin3x+С )′=3cos3x , где С — некоторая постоянная величина. Эти примеры говорят о неоднозначности действия интегрирования, в отличие от действия дифференцирования, когда у любой дифференцируемой функции существует единственная производная.
Определение. Если функция F (x) является первообразной для функции f (x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид:
F (x)+C , где С — любое действительное число.
Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ (знак интеграла). Записывают: ∫f (x) dx=F (x)+C .
Выражение ∫f (x) dx читают: «интеграл эф от икс по дэ икс».
f (x) dx — подынтегральное выражение,
f (x) — подынтегральная функция,
х — переменная интегрирования.
F (x) — первообразная для функции f (x) ,
С — некоторая постоянная величина.
Теперь рассмотренные примеры можно записать так:
1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.
Что же означает знак d?
d — знак дифференциала — имеет двойное назначение: во-первых, этот знак отделяет подынтегральную функцию от переменной интегрирования; во-вторых, все, что стоит после этого знака диференцируется по умолчанию и умножается на подынтегральную функцию.
Примеры. Найти интегралы: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.
3) После значка дифференциала d стоит х х , а р
∫ 2хрdx=рх²+С. Сравните с примером 1).
Сделаем проверку. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).
4) После значка дифференциала d стоит р . Значит, переменная интегрирования р , а множитель х следует считать некоторой постоянной величиной.
∫ 2хрdр=р²х+С. Сравните с примерами 1) и 3).
Сделаем проверку. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).
Первообразная
Определение первообразной функции
- Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х ∈ Х выполняется равенство: F′(x) = f (x)
Можно прочесть двумя способами:
- f производная функции F
- F первообразная для функции f
Свойство первообразных
- Если F(x) - первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С - произвольная постоянная.
Геометрическая интерпретация
- Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу .
Правила вычисления первообразных
- Первообразная суммы равна сумме первообразных . Если F(x) - первообразная для f(x) , а G(x) - первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) - первообразная для f(x) + g(x) .
- Постоянный множитель можно выносить за знак производной . Если F(x) - первообразная для f(x) , и k - постоянная, то k·F(x) - первообразная для k·f(x) .
- Если F(x) - первообразная для f(x) , и k, b - постоянные, причём k ≠ 0 , то 1/k · F(kx + b) - первообразная для f(kx + b) .
Запомни!
Любая функция F(x) = х 2 + С , где С - произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х .
- Например:
F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 – 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 –3)" = 2x = f(x);
Связь между графиками функции и ее первообразной:
- Если график функции f(x)>0 F(x) возрастает на этом промежутке.
- Если график функции f(x)<0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
- Если f(x)=0 , то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).
Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.
Неопределенный интеграл
Определение :
- Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x) - называют подынтегральной функцией;
- f(x) dx - называют подынтегральным выражением;
- x - называют переменной интегрирования;
- F(x) - одна из первообразных функции f(x);
- С - произвольная постоянная.
Свойства неопределённого интеграла
- Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx .
- Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx .
- Если k, b - постоянные, причём k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac{1}{k} \cdot F(kx + b) + C .
Таблица первообразных и неопределенных интегралов
Функция f(x) | Первообразная F(x) + C | Неопределенные интегралы \int f(x) dx = F(x) + C |
0 | C | \int 0 dx = C |
f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
f(x) = x^m, m\not =-1 | F(x) = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C | \int x{^m}dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C |
f(x) = \frac{1}{x} | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac{dx}{x} = l n \lvert x \rvert + C |
f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e{^x }dx = e^x + C |
f(x) = a^x | F(x) = \frac{a^x}{l na} + C | \int a{^x }dx = \frac{a^x}{l na} + C |
f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
f(x) = \cos x | F(x) =\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
f(x) = \frac{1}{\sin {^2} x} | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac {dx}{\sin {^2} x} = -\ctg x + C |
f(x) = \frac{1}{\cos {^2} x} | F(x) = \tg x + C | \int \frac{dx}{\sin {^2} x} = \tg x + C |
f(x) = \sqrt{x} | F(x) =\frac{2x \sqrt{x}}{3} + C | |
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{x}} | F(x) =2\sqrt{x} + C | |
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1-x^2}} | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2}}=\arcsin x + C |
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1+x^2}} | F(x)=\arctg x + C | \int \frac{dx}{ \sqrt{1+x^2}}=\arctg x + C |
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2-x^2}} | F(x)=\arcsin \frac {x}{a}+ C | \int \frac{dx}{ \sqrt{a^2-x^2}} =\arcsin \frac {x}{a}+ C |
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2+x^2}} | F(x)=\arctg \frac {x}{a}+ C | \int \frac{dx}{ \sqrt{a^2+x^2}} = \frac {1}{a} \arctg \frac {x}{a}+ C |
f(x) =\frac{1}{ 1+x^2} | F(x)=\arctg + C | \int \frac{dx}{ 1+x^2}=\arctg + C |
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{x^2-a^2}} (a \not= 0) | F(x)=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C | \int \frac{dx}{ \sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C |
f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C |
f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
f(x)=\frac{1}{\sin x} | F(x)= l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C | \int \frac {dx}{\sin x} = l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C |
f(x)=\frac{1}{\cos x} | F(x)= l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C | \int \frac {dx}{\cos x} = l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C |
Формула Ньютона–Лейбница
Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.
\int_{a}^{b} f(x) dx =F(x)|_{a}^{b} = F(b) - F(a)
где F(x) - первообразная для f(x)
То есть, интеграл функции f (x) на интервале равен разности первообразных в точках b и a .
Площадь криволинейной трапеции
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке функции f , осью Ox и прямыми x = a и x = b .
Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:
S= \int_{a}^{b} f(x) dx
Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций.
Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления.
Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.
Пример №1 .
Пусть (f(х))’ = 3х 2 . Найдем f(х).
Решение:
Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х 3 , ибо
(х 3)’ = 3х 2 Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно. В качестве f(х) можно взять f(х)= х 3 +1 f(х)= х 3 +2 f(х)= х 3 -3 и др.
Т.к. производная каждой из них равно 3х 2 . (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3 +С, где С - любое постоянное действительное число.
Любую из найденных функций f(х) называют первообразной для функции F`(х)= 3х 2
Определение.
Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 первообразная для f(х)=3х 2 на (- ∞ ; ∞). Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х 3)`=3х 2
Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных.
Пример №2.
Функция есть первообразная для всех на промежутке (0; +∞), т.к. для всех ч из этого промежутка, выполняется равенство.
Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение:
Признак постоянства функции. Если F"(х) = 0 на некотором промежутке I, то функция F - постоянная на этом промежутке.
Доказательство.
Зафиксируем некоторое x 0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число c, заключенное между х и x 0 , что
F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).
По условию F’ (с) = 0, так как с ∈1, следовательно,
F(x) - F(x 0) = 0.
Итак, для всех х из промежутка I
т е. функция F сохраняет постоянное значение.
Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называютобщим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных ):
Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде
F(x) + C, (1) где F (х) - одна из первообразных для функции f (x) на промежутке I, а С - произвольная постоянная.
Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной:
- какое бы число ни поставить в выражение (1) вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
- какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство
Доказательство.
- По условию функция F - первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F"(х)= f (х) для любого х∈1, поэтому (F(x) + C)" = F"(x) + C"=f(x)+0=f(x), т. е. F(x) + C - первообразная для функции f.
- Пусть Ф (х) - одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т. е. Ф"(x) = f (х) для всех x∈I.
Тогда (Ф(x) - F (x))" = Ф"(х)-F’ (х) = f(x)-f(x)=0.
Отсюда следует в. силу признака постоянства функции, что разность Ф(х) - F(х) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.
Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(х) - F(x)=С, что и требовалось доказать. Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу
Вопросы к конспектам
Функция F(x) является первообразной для функции f(x). Найдите F(1), если f(x)=9x2 - 6x + 1 и F(-1) = 2.
Найдите все первообразные для функции
Для функции (x) = cos2 * sin2x, найдите первообразную F(x), если F(0) = 0.
Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку
ДокументНекотором промежутке Х. Если для любого хХ F"(x) = f(x), то функция F называется первообразной для функции f на промежутке Х. Первообразную для функции можно попытаться найти...
Первообразной для функции
Документ... . Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x(a;b) выполняется равенство F(x) = f(x). Например, для функции x2 первообразной будет функция x3 ...
Основы интегрального исчисления Учебное пособие
Учебное пособие... ; 5. Найти интеграл. ; B) ; C) ; D) ; 6. Функция называется первообразной к функции на множестве, если: для всех; в некоторой точке; для всех; в некоторой... интервалом. Определение 1. Функция называется первообразной для функции на множестве, ...
Первообразная Неопределённый интеграл
ДокументИнтегрирования. Первообразная . Непрерывная функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке X , если для каждого F’ (x) = f (x). П р и м е р. Функция F (x) = x 3 является первообразной для функции f (x) = 3x ...
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР Утверждено Учебно-методическим управлением по высшему образованию ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ (С ПРОГРАММОЙ) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей
Методические указанияВопросы для самопроверки Дайте определение первообразной функции . Укажите геометрический смысл совокупности первообразных функций . Что называется неопределенным...
Первообразная.
Первообразную легко понять на примере.
Возьмем функцию у = х 3 . Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х 3 является 3х 2:
(х 3)" = 3х 2 .
Следовательно, из функции у = х
3 мы получаем новую функцию: у
= 3х
2 .
Образно говоря, функция у
= х
3 произвела функцию у
= 3х
2 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие: первообразная.
То есть: функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 .
Определение первообразной:
В нашем примере (х 3)" = 3х 2 , следовательно у = х 3 – первообразная для у = 3х 2 .
Интегрирование.
Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.
Пример-пояснение :
у = 3х 2 + sin x .
Решение :
Мы знаем, что первообразной для 3х 2 является х 3 .
Первообразной для sin x является –cos x .
Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции:
у = х 3 + (–cos x ),
у = х 3 – cos x .
Ответ
:
для функции у
= 3х
2 + sin x
у = х
3 – cos x
.
Пример-пояснение :
Найдем первообразную для функции у = 2 sin x .
Решение :
Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .
Следовательно, для функции у
= 2 sin x
первообразной является функция у
= –2 cos x
.
Коэффициент 2 в функции у = 2 sin x
соответствует коэффициенту первообразной, от которой эта функция образовалась.
Пример-пояснение :
Найдем первообразную для функции y = sin 2x .
Решение :
Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .
Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x :
1
y
= - · (–cos 2x
),
2
cos 2x
y
= – ----
2
cos 2x
Ответ
: для функции y
= sin 2x
первообразной является функция y
= – ----
2
(4)
Пример-пояснение .
Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x .
Для этой функции все первообразные имеют вид:
cos 2x
y
= – ---- + C
.
2
Пояснение .
Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x )равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1" = 0.
В таком же порядке читаются и остальные строчки.
Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку:
(-cos x )" = sin x
Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную.
Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x .
Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x .