Пример прямоугольной матрицы. Матрицы
1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого - определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!
Определение матрицы
Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.
Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A , матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n , где m – количество строк, а n – количество столбцов.
Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.
Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать , умножать на число , умножать между собой , транспонировать . Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.
Операции сложения и вычитания матриц
Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы . Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.
Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.
На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:
Операция умножения матриц
Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы - A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго . Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:
И пример с реальными числами. Умножим матрицы:
Операция транспонирования матрицы
Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:
Определитель матрицы
Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!
Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.
А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.
Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.
Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот - столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис . Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.
Матрица (математика)
Ма́трица - математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых , действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы , в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов - количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Для матрицы определены следующие алгебраические операции:
Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу ; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.
Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно - каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы - это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам .
То же можно сказать о представлении матрицами билинейный (квадратичных) форм.
В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц . Таковы, например, единичная , симметричная , кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.
Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм . На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью.
История
Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом ». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера » в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса ». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли . Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу , Жордану , Фробениусу . Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.
Определение
Пусть есть два конечных множества и , где и - натуральные числа .
Назовём матрицей размера (читается на ) с элементами из некоторого кольца или поля отображение вида
.Называется элементом матрицы, находящимся на пересечении -той строки и -ого столбца;
Если индекс пробегает множество , а пробегает множество , то совокупность элементов полностью определяет матрицу.
Таким образом, матрица размера состоит в точности из
В соответствии с этим
Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве , имеющем размерность . Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); что касается матричного умножения , то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.
Если у матрицы количество строк совпадает с количеством столбцов , то такая матрица называется квадратной , а число называется размером квадратной матрицы или её порядком .
Обозначения
Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть
,тогда - матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля вида , где
таким образом, - элемент матрицы , находящийся на пересечении -той строки и -того столбца. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера :
или просто:
если нужно просто указать обозначение для элементов матрицы.
Иногда, вместо , пишут , чтобы отделить индексы друг от друга и избежать смешения с произведением двух чисел.
Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида
Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями "||…||").
Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения:
- это -тая строка матрицы , - это -тый столбец матрицы .Таким образом, матрица обладает двойственным представлением - по строкам:
и по столбцам:
.Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов.
Транспонированная матрица
С каждой матрицей размера связана матрица размера вида
Такая матрица называется транспонированной матрицей для и обозначается так .
Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица размера при этом преобразовании станет матрицей размерностью .
Диагональная матрица
Пусть - произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим
.Вектора также разложим в выбранном базисе, получим
,где - -я координата -го вектора из .
Подставим разложение в предыдущую формулу, получим
.Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.
Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства.
Определитель матрицы n-го порядка. N, Z,Q, R,C,
Матрицей порядка m*n называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая m-строк и n - столбцов.
Равенство матриц:
Две матрицы называются равными, если число строк и столбцов одной из них равно соответственно числу строк и столбцов другой и соответст. эл-ты этих матриц равны.
Замечание: Эл-ты имеющие одинаковые индексы являются соответствующими.
Виды матриц:
Квадратная матрица: матрица называется квадратной, если число её строк равно числу столбцов.
Прямоугольная: матрица называется прямоугольной, если число строк не равно числу столбцов.
Матрица строка: матрица порядка 1*n (m=1) имеет вид a11,a12,a13 и называется матрицей строки.
Матрица столбец:………….
Диагональная: диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого угла к правому нижнему углу, то есть состоящая из элементов а11,а22……-называется главной диагональю. (опред: квадратная матрица все элементы которой равны нулю, кроме тех, что расположены на главной диагонали, называется диагональной матрицей.
Единичная: диагональная матрица называется единичной, если все элементы расположены на главной диагонали и равны 1.
Верхняя треугольная: А=||aij|| называется верхней треугольной матрицей, если aij=0. При условии i>j.
Нижняя треугольная: aij=0. i Нулевая: это матрица Эл-ты которой равны 0. Операции над матрицами. 1.Транспонирование. 2.Умножение матрицы на число. 3.Сложение матриц.
4.Умножение матриц.
Основные св-ва действия над матрицами.
1.A+B=B+A (коммутативность)
2.A+(B+C)=(A+B)+C (ассоциативность)
3.a(A+B)=aA+aB (дистрибутивность)
4.(a+b)A=aA+bA (дистриб.)
5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (асооц.)
6.AB≠BA (отсутствует комму.)
7.A(BC)=(AB)C (ассоц.) –выполняется, если опред. Произведений матриц выполняется.
8.A(B+C)=AB+AC (дистриб.)
(B+C)A=BA+CA (дистриб.)
9.a(AB)=(aA)B=(aB)A
Определитель квадратной матрицы – определение и его свойства. Разложение определителя по строкам и столбцам. Способы вычисления определителей.
Если матрица А имеет порядок m>1, то определитель этой матрицы – число.
Алгебраическим дополнением Aij эл-та aij матрицы А называется минор Mij, умноженный на число
ТЕОРЕМА1: Определитель матрицы А равен сумме произведений всех элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Основные свойства определителей.
1. Определитель матрицы не изменится при её транспонировании.
2. При перестановки двух строк (столбцов) определитель меняет знак, а абсолютная величина его не меняется.
3. Определитель матрицы, имеющий две одинаковые строки (столбцы) равен 0.
4.При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число.
5. Если одна из строк (столбцов) матрицы состоит из 0, то определитель этой матрицы равен 0.
6. Если все элементы i-ой строки (столбца) матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых, то её определитель можно представить в виде суммы определителей двух матриц.
7. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца (строки) прибавить соответственно эл-ты другого столбца (строки) предварительно умнож. на одно и того же число.
8.Сумма произвольных элементов какого либо столбца (строки) определителя на соответствующее алгебраическое дополнение элементов другого столбца (строки) равна 0.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">
Способы вычисления определителя:
1. По определению или теореме 1.
2. Приведение к треугольному виду.
Определение и свойства обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы. Матричные уравнения.
Определение: Квадратная матрица порядка n, называется обратной к матрице А того же порядка и обозначается
Для того чтобы для матрицы А существовала обратная матрица необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от 0.
Свойства обратной матрицы:
1. Единственность: для данной матрицы А её обратная – единственная.
2. определитель матрицы
3. Операция взятия транспонирования и взятие матрицы обратной.
Матричные уравнения:
Пусть А и В две квадратные матрицы того же порядка.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">
Понятие линейной зависимости и независимости столбцов матрицы. Свойства линейной зависимости и линейной независимости системы столбцов.
Столбцы А1,А2…Аn называются линейно зависимыми, если существует их не тривиальная линейная комбинация, равная 0-му столбцу.
Столбцы А1,А2…Аn называются линейно независимыми, если существует их не тривиальная линейная комбинация, равная 0-му столбцу.
Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты С(l) равны 0 и не тривиальной в противном случае.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">
2.для того чтобы столбцы были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы какой-нибудь столбец являлся линейной комбинацией других столбцов.
Пусть 1 из столбцов https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src=">является линейной комбинацией других столбцов.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> линейно зависимы, то и все столбцы линейно зависимы.
4. Если система столбцов линейно независима, то любая её подсистема так же линейно независима.
(Всё что сказано относительно столбцов, справедливо и для строк).
Миноры матрицы. Базисные миноры. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы.
Минором порядка к матрицы А называется определитель элементы которого расположены на пересечении к-строк и к-стролбцов матрицы А.
Если все миноры к-го порядка матрицы А =0, то любой минор порядка к+1 тоже равен 0.
Базисный минор.
Рангом матрицы А называется порядок её базисного минора.
Метод окаймляющих миноров: - Выбираем не нулевой элемент матрицы А (Если такого элемента не существует, то ранг А =0)
Окаймляем минор предыдущий 1-го порядка минором 2-го порядка. (Если этот минор не равен 0, то ранг >=2) Если ранг этого минора =0, то окаймляем выбранный минор 1-го порядка другими минорами 2-го порядка. (Если все миноры 2-го порядка =0, то ранг матрицы = 1).
Ранг матрицы. Способы нахождения ранга матрицы.
Рангом матрицы А называется порядок его базисного минора.
Способы вычисления:
1) Метод окаймляющих миноров: -Выбираем ненулевой элемент матрицы А (если такого элемента нет, то ранг =0) – Окаймляем минор предыдущий 1-го порядка минором 2-го порядка..gif" width="40" height="22">r+1 Mr+1=0.
2)Приведение матрицы к ступенчатому виду: этот метод основан на элементарных преобразованиях. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.
Элементарными преобразованиями называются следующие преобразования:
Перестановка двух строк (столбцов).
Умножение всех элементов некоторого столбца (строки) на число не =0.
Прибавление ко всем элементам некоторого столбцы (строки) элементов другого столбца (строки), предварительно умноженных на одно и тоже число.
Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
Базисным минором матрицы А называется минор наибольшего к-го порядка отличного от 0.
Теорема о базисном миноре:
Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы А являются линейной комбинацией базисных строк (столбцов).
Замечания: Строки и столбцы на пересечении которых стоит базисный минор называются соответственно базисными строками и столбцами.
a11 a12… a1r a1j
a21 a22….a2r a2j
a31 a32….a3r a3j
ar1 ar2 ….arr arj
ak1 ak2…..akr akj
Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя:
Для того чтобы определитель n-го порядка =0, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.
Системы линейных уравнений, их классификация и формы записи. Правило Крамера.
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">
называется определителем системы.
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов
https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">
Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:
https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">
Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца
https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">
Аналогично можно показать, что и .
Наконец несложно заметить, что 
Таким образом, получаем равенство: .
Следовательно, .
Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.
Системы линейных уравнений. Условие совместимости линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Решением системы алгебраических уравнений называется такая совокупность n чисел C1,C2,C3……Cn, которая при подстановки в исходную систему на место x1,x2,x3…..xn обращает все уравнения системы в тождества.
Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет бесчисленно много решений.
Условия совместности систем линейных алгебраических уравнений.
a11 a12 ……a1n x1 b1
a21 a22 ……a2n x2 b2
……………….. .. = ..
am1 am2…..amn xn bn
ТЕОРЕМА: Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу матрицы А.
Замечание: Эта теорема даёт лишь критерии существования решения, но не указывает способа отыскивания решения.
10 вопрос.
Системы линейных уравнений. Метод базисного минора - общий метод отыскивания всех решений систем линейных уравнений.
A=a21 a22…..a2n
Метод базисного минора:
Пусть система совместна и RgA=RgA’=r. Пусть базисный минор расписан в верхнем левом углу матрицы А.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src=">…...gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="46" height="23 src=">-…..-a
d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)
… = …………..
Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)
https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">
Замечания: Если ранг основной матрицы и рассматриваемой равен r=n, то в этом случае dj=bj и система имеет единственное решение.
Однородные системы линейных уравнений.
Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.
AX=0 – однородная система.
АХ =В – неоднородная система.
Однородные системы всегда совместны.
Х1 =х2 =..=хn =0
Теорема 1.
Однородные системы имеют неоднородные решения, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных.
Теорема 2.
Однородная система n-линейных уравнений с n-неизвестными имеет не нулевое решение, когда определитель матрицы А равен нулю. (detA=0)
Свойства решений однородных систем.
Любая линейная комбинация решения однородной системы сама является решением этой системы.
α1C1 +α2C2 ; α1 и α2– некоторые числа.
А(α1C1 +α2C2) = А(α1C1) +А(α2C2) = α1(А C1) + α2(АC2) = 0,т. к. (А C1) = 0; (АC2) = 0
Для неоднородной системы это свойство не имеет места.
Фундаментальная система решений.
Теорема 3.
Если ранг матричной системы уравнения с n-неизвестными равен r, то эта система имеет n-r линейно-независимых решений.
Пусть базисный минор в левом верхнем углу. Если r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr
C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1,0..0)
C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0) <= Линейно-независимы.
……………………..
Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)
Система n-r линейно-независимых решений однородной системы линейных уравнений с n-неизвестными ранга r называется фундаментальной системой решений.
Теорема 4.
Любое решение системы линейных уравнений есть линейная комбинация решения фундаментальной системы.
С = α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r
Если r 12 вопрос. Общее решение неоднородной системы. Сон (общ. неоднор.) = Соо +Сч (частное) АХ=В (неоднородная система) ; АХ= 0 (АСоо) +АСч = АСч = В, т. к. (АСоо) = 0 Сон= α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Сч Метод Гаусса. Это метод последовательных исключений неизвестных (переменных) – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований, исходная система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находят все остальные переменные. Пусть а≠0 (если это не так, то перестановкой уравнений добиваются этого). 1)исключаем переменную х1 из второго, третьего…n-ого уравнения, умножая первое уравнение на подходящие числа и прибавляя полученные результаты ко 2-ому, 3-ему…n-ому уравнению, тогда получаем: Получаем систему равносильную исходной. 2)исключаем переменную х2 3) исключаем переменную х3 и т. д. Продолжая процесс последовательного исключения переменных х4;х5...хr-1 получим для (r-1)-ого шага. Число ноль последних n-r в уравнениях означают, что их левая часть имеет вид: 0х1 +0х2+..+0хn Если хотя бы одно из чисел вr+1, вr+2… не равны нулю, то соответственное равенство противоречиво и система (1) не совместна. Таким образом, для всякой совместной системы эта вr+1 … вm равна нулю. Последнее n-r уравнение в системе (1;r-1) являются тождествами и их можно не принимать во внимание. Возможны два случая: а)число уравнений системы (1;r-1) равно числу неизвестных, т. е. r=n (в этом случае система имеет треугольный вид). б)r Переход от системы (1) к равносильной ей системе (1;r-1) называется прямым ходом метода Гаусса. О нахождение переменной из системы (1;r-1) – обратным ходом метода Гаусса. Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя их не с уравнениями, а с расширенной матрицей их коэффициентов. 13 вопрос. Подобные матрицы. Будем рассматривать только квадратные матрицы порядка n/ Матрица А называется подобной матрице В (А~В), если существует такая неособенная матрица S, что А=S-1BS. Свойства подобных матриц. 1)Матрица А подобна сама себе. (А~А) Если S=Е, тогда ЕАЕ=Е-1АЕ=А 2)Если А~В, то В~А Если А=S-1ВS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B 3)Если А~В и одновременно В~С, то А~С Дано, что А=S1-1BS1, и В=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, где S3 = S2S1 4)Определители подобных матриц равны. Дано, что А~В, надо доказать, что detA=detB. A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (сокращаем) = detB. 5)Ранги подобных матриц совпадают. Собственные векторы и собственные значения матриц. Число λ называется собственным значением матрицы А, если существует ненулевой вектор Х(матр. столбец) такой, что АХ= λ Х, вектор Х называется собственным вектором матрицы А, а совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы А. Свойства собственных векторов. 1)При умножении собственного вектора на число получим собственный вектор с тем же собственным значением. АХ= λ Х; Х≠0 α Х => А(α Х) = α (АХ) = α(λ Х) = = λ (αХ) 2) Собственные векторы с попарно-различными собственными значениями линейно независимы λ1, λ2,.. λк. Пусть система состоит из 1-ого вектора, сделаем индуктивный шаг: С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn = 0 (1) – умножаем на А. С1 АХ1 +С2 АХ2 + .. +Сn АХn = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0 Умножаем на λn+1 и вычтем С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn+ Сn+1 Хn+1 = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0 Надо чтобы С1 =С2 =… = Сn = 0 Сn+1 Хn+1 λn+1 =0 Характеристическое уравнение. А-λЕ называется характеристической матрицей для матрицы А. Для того, чтобы ненулевой вектор Х был собственным вектором матрицы А, соответствующий собственному значению λ необходимо чтобы он являлся решением однородной системы линейно-алгебраических уравнений (А - λЕ)Х = 0 Нетривиальное решение система имеет тогда, когда det (А - XЕ) = 0 - это характеристическое уравнение. Утверждение! Характеристические уравнения подобных матриц совпадают. det(S-1AS – λЕ) = det(S-1AS – λ S-1ЕS) =det(S-1 (A – λЕ)S) = det S-1 det(A – λЕ) detS= det(A – λЕ) Характеристический многочлен. det(A – λЕ)- функция относительно параметра λ det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA Этот многочлен и называется характеристическим многочленом матрицы А. Следствие: 1)Если матрицы А~В, то сумма их диагональных элементов совпадает. a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn 2)Множество собственных значений подобных матриц совпадают. Если характеристические уравнения матриц совпадают, то они необязательно подобны. Для матрицы А Для матрицы В https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38"> Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0 Для того чтобы матрица А порядка n была диагонализируема, необходимо, чтобы существовали линейно-независимые собственные вектора матрицы А. Следствие. Если все собственные значения матрица А различны, то она диагонализируема. Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений. 1)составляем характеристическое уравнение 2)находим корни уравнений 3)составляем систему уравнений для определения собственного вектора. λi (A-λi E)X = 0 4)находим фундаментальную систему решений x1,x2..xn-r, где r - ранг характеристической матрицы. r =Rg(A - λi E) 5)собственный вектор, собственные значения λi записываются в виде: X = С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn-r Хn-r, где С12 +С22 +… С2n ≠0 6)проверяем, может ли матрица быть приведена к диагональному виду. 7)находим Ag Ag = S-1AS S= 15 вопрос. Базис прямой, плоскости, пространства. DIV_ADBLOCK371">
Модулем вектора называется его длина, то есть расстояние между А и В (││, ││). Модуль вектора равен нулю, тогда, когда этот вектор нулевой (│ō│=0) 4.Орт вектора. Ортом данного вектора называется вектор, который направлен одинаково с данным вектором и имеет модуль, равный единице. Равные вектора имеют равные орты. 5.Угол между двумя векторами. Это меньшая часть площади, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки и направленные одинаково с данными векторами. Сложение векторов. Умножение вектора на число. 1)Сложение двух векторов https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2)Умножение вектора на скаляр. Произведением вектора и скаляра называют новый вектор, который имеет: а) = произведения модуля умножаемого вектора на абсолютную величину скаляра. б) направление одинаковое с умножаемым вектором, если скаляр положителен, и противоположное, если скаляр отрицателен. λ а(вектор)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │ Свойства линейных операций над векторами. 1.Закон коммунитативности. 2. Закон ассоциативности. 3. Сложение с нулем. а(вектор)+ō= а(вектор) 4.Сложение с противоположным. 5. (αβ) = α(β) = β(α) 6;7.Закон дистрибутивности. Выражение вектора через его модуль и орт. Максимальное число линейно-независимых векторов называются базисом. Базисом на прямой является любой ненулевой вектор. Базисом на плоскости являются любые два некаллениарных вектора. Базисом в пространстве является система любых трех некомпланарных векторов. Коэффициент разложения вектора по некоторому базису называется компонентами или координатами вектора в данном базисе. https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> выполнить действие сложения и умножения на скаляр, то в результате любого числа таких действий получим: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> называются линейно-зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная ō. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> называются линейно-НЕзависимыми, если не существует их нетривиальная линейная комбинация. Свойства линейно-зависимых и Независимых векторов: 1)система векторов, содержащая нулевой вектор линейно-зависима. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> были линейно-зависимыми, необходимо, чтобы какой-нибудь вектор являлся линейной комбинацией других векторов. 3)если часть векторов из системы а1(вектор), а2(вектор)… ак(вектор) линейно-зависимы, то и все вектора линейно-зависимы. 4)если все вектора https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">) Линейные операции в координатах. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">+ (λа3)DIV_ADBLOCK374">
Скалярное произведение 2-х векторов – это число равное произведению векторов на косинус угла между ними. https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13"> 3. (a;b)=0, тогда и только тогда, когда векторы ортоганальны или какой нибудь из векторов равен 0. 4. Дистрибутивность (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c) 5. Выражение скалярного произведения a и b через их координаты https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src="> При выполнении условия () , h, l=1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> и называется третий вектор который удовлетворяет следующим уравнениям: 3. – правая Свойства векторного произведения: 4. Векторное произведение координатных ортов Ортонормированый базис. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src="> Часто для обозначения ортов ортонормированного базиса используются 3 символа https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src="> Если - это ортонормированный базис, то DIV_ADBLOCK375">
Прямая линия на плоскости. Взаимное расположение 2-х прямых. Расстояние от точки до прямой линии. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности 2-х прямых. 1. Часный случай расположения 2-х прямых на плоскости. 1)- уравнение прямой параллельной оси ОХ 2) - уравнение прямой параллельной оси ОУ 2. Взамное расположение 2-х прямых. Теорема 1 Пусть относительно аффинной системы координат даны уравнения прямых А) Тогда необходимое и достаточное условие когда они пересекаются имеет вид: Б) Тогда необходимое и достаточное условие того что прямые паралельны является условие: B) Тогда необходимым и достаточным условием того что прямые сливаются в одну является условие: 3. Расстояние от точки до прямой. Теорема. Расстояние от точки до прямой относительно декартовой системы координат: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src="> 4. Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности. Пусть 2 прямые заданы относительно декартовой системы координат общими уравнениями. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src="> Если , то прямые перпендикулярны. 24 вопрос. Плоскость в пространстве. Условие комплонарности вектора и плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. 1. Условие комплонарности вектора и плоскости. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Безымянный4.jpg" width="111" height="39"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Безымянный5.jpg" width="88" height="57"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src="> 3. Угол между 2-я плоскостями. Условие перпендикулярности. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src="> Если , то плоскости перпендикулярны. 25 вопрос. Прямая линя в пространстве. Различные виды уравнения прямой линии в пространстве. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19"> 2. Векторное уравнение прямой в пространстве. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src="> 4. Каноническое уравнение прямое. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Безымянный3.jpg" width="56" height="51">
28 вопрос. Эллипс. Вывод Канонического уравнения эллипса. Форма. Свойства Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных расстояний, называемых фокусами есть данное число 2a, большее чем расстояние 2c между фокусами. на рис.2 r1=a+ex r2=a-ex Ур-е касательной к эллипсу DIV_ADBLOCK378">
Каноническое уравнение гиперболы Форма и св-ва y=±b/a умножить на корень из (x2-a2) Ось симметрии гиперболы - её оси Отрезок 2a - действительная ось гиперболы Эксентриситет e=2c/2a=c/a Если b=a получается равнобокая гипербола Ассимтотой - называется прямая, если при неограниченном удалении точки M1 по кривой расстояние от точки до прямой стремится к нулю. lim d=0 при x-> ∞ d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c) касательная гиперболы xx0/a2 - yy0/b2 = 1 парабола - геометрическое место точек, равноудаленное от точки, названной фокусом и данной прямой, названной директриссой Каноническое уравнение параболы свойства ось симметрии параболы проходит через её фокус и перпендиукулярна директрисе если вращать параболу получится эллиптический параболоид все параболы подобны вопрос 30. Исследование уравнения общего вида кривой второго порядка. Тип кривой опр. при старших членах A1, B1, C1 A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0 1. AC=0 ->кривая параболического типа A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0 A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0 Если Е=0 => Ax2+2Dx+F=0 то x1=x2 - сливается в одну x1≠x2 - прямые параллельны Оу x1≠x2 и корни мнимые, не имеет геометричекого образа С≠0 А=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0 Вывод: кривая параболического типа это либо парабола, либо 2 параллельные прямые, или мнимые, или в одну сливаются. 2.AC>0 -> кривая эллиптического типа Дополняя до полного квадрата исходное уравнение преобразуем к каноническому, тогда получим случаи (x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - эллипс (x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - мнимый эллипс (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - точка с координатой x0 y0 Вывод: кривая эл. типа ето либо эллипс, либо мнимый, либо точка 3. АС<0 - кривая гиперболического типа (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 гипербола, действительная ось параллельна Ох (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 гипербола, действительная ось параллельна Oy (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 ур-е двух прямых Вывод: кривая гиперболического типа это либо гипербола, либо две прямые Матрицы в математике - один из важнейших объектов, имеющих прикладное значение. Часто
экскурс в теорию матриц начинают со слов: "Матрица - это прямоугольная таблица...". Мы начнём этот экскурс
несколько с другой стороны. Телефонные книги любого размера и с любым числом данных об абоненте - ни что иное, как матрицы. Такие матрицы
имеют примерно следующий вид: Ясно, что такими матрицами мы все пользуемся почти каждый день. Эти матрицы бывают с различным
числом строк (различаются как выпущенный телефонной компанией справочник, в котором могут быть тысячи, сотни тысяч и даже миллионы строк
и только что начатая Вами новая записная книжка, в которой меньше десяти строк) и столбцов (справочник должностных лиц какой-нибудь
организации, в котором могут быть такие столбцы, как должность и номер кабинета и та же Ваша записная книжка, где
может не быть никаких данных, кроме имени, и, таким образом, в ней только два столбца - имя и телефон). Всякие матрицы можно складывать и умножать, а также проводить над ними другие операции,
однако нет необходимости складывать и умножать телефонные справочники, от этого нет никакой пользы, к тому
же можно и подвинуться рассудком. Но очень многие матрицы можно и нужно складывать и перемножать и решать таким образом
различные насущные задачи. Ниже примеры таких матриц. Матрицы, в которых столбцы - выпуск единиц продукции того или иного вида, а строки
- годы, в которых ведётся учёт выпуска этой продукции: Можно складывать матрицы такого вида, в которых учтён выпуск аналогичной продукции
различными предприятиями, чтобы получить суммарные данные по отрасли. Или матрицы, состоящие, к примеру, из одного столбца, в которых строки -
средняя себестоимость того или иного вида продукции: Матрицы двух последних видов можно умножать, а в результате получится матрица-строка,
содержащая себестоимость всех видов продукции по годам. Прямоугольная таблица, состоящая из чисел, расположенных в m
строках и n
столбцах, называется mn-матрицей
(или просто матрицей
) и записывается так: В матрице (1) числа
называются её элементами
(как и в определителе, первый индекс означает номер строки, второй – столбца, на пересечении которых стоит элемент; i
= 1, 2, ..., m
; j
= 1, 2, n
). Матрица называется прямоугольной
, если
. Если же m
= n
, то матрица называется квадратной
, а число n – её порядком
. Определителем квадратной матрицы A
называется определитель, элементами которого являются элементы матрицы A
. Он обозначается символом |A
|. Квадратная матрица называется неособенной
(или невырожденной
, несингулярной
), если её определитель не равен нулю, и особенной
(или вырожденной
, сингулярной
), если её определитель равен нулю. Матрицы называются равными
, если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают. Матрица называется нулевой
, если всё её элементы равны нулю. Нулевую матрицу будем обозначать символом 0
или
. Например, Матрицей-строкой
(или строчной
) называется 1n
-матрица, а матрицей-столбцом
(или столбцовой
) – m
1-матрица. Матрица A
"
, которая получается из матрицы
A
заменой в ней местами строк и столбцов, называется транспонированной
относительно матрицы A
. Таким образом, для матрицы (1) транспонированной является матрица Операция перехода к матрице A
"
,
транспонированной относительно матрицы A
, называется транспонированием матрицы A
.
Для mn
-матрицы транспонированной является nm
-матрица. Транспонированной относительно матрицы
является матрица A
, то есть (A
")" = A
. Пример 1.
Найти матрицу A
"
,
транспонированную относительно матрицы и выяснить, равны ли определители исходной и транспонированной матриц. Главной диагональю
квадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая её элементы, у которых оба индекса одинаковые. Эти элементы называются диагональными
. Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной
. Не обязательно все диагональные элементы диагональной матрицы отличны от нуля. Среди них могут быть и равные нулю. Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны одному и тому же числу, отличному от нуля, а
все прочие равны нулю, называется скалярной матрицей
. Единичной матрицей
называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Например, единичной матрицей третьего порядка является матрица Пример 2.
Даны матрицы: Решение. Вычислим определители данных матриц. Пользуясь правилом треугольников, найдём Определитель матрицы B
вычислим по формуле Легко получаем, что Следовательно, матрицы A
и
– неособенные (невырожденные, несингулярные), а матрица B
– особенная (вырожденная, сингулярная). Определитель единичной матрицы любого порядка, очевидно, равен единице. Пример 3.
Даны матрицы Установить, какие из них являются неособенными (невырожденными, несингулярными). В виде матриц просто и удобно записываются структурированные данные о том или ином объекте. Матричные
модели создаются не только для хранения этих структурированных данных, но и для решения различных задач с этими данными
средствами линейной алгебры. Так, известной матричной моделью экономики является модель "затраты-выпуск", внедрённая американским
экономистом русского происхождения Василием Леонтьевым. Эта модель исходит из предположения, что весь производственный
сектор экономики разбит на n
чистых отраслей. Каждая из отраслей выпускает продукцию только одного вида и разные отрасли
выпускают разную продукцию. Из-за такого разделения труда между отраслями существуют межотраслевые связи, смысл которых
состоит в том, что часть продукции каждой отрасли передаётся другим отраслям в качестве ресурса производства. Объём продукции i
-й отрасли (измеряемый определённой единицей измерения), которая была произведена
за отчётный период, обозначается через и
называется полным выпуском i
-й отрасли. Выпуски
удобно разместить в n
-компонентную строку матрицы. Количество единиц продукции i
-й отрасли, которое необходимо затратить j
-й
отрасли для производства единицы своей продукции, обозначается
и называется коэффициентом прямых затрат. В данной теме рассмотрим понятие матрицы, а также виды матриц. Так как в данной теме немало терминов, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще. Матрица
- это таблица из $m$ строк и $n$ столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица $\left(\begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)$ содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа. Матрица $\left(\begin{array} {cccc} a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end{array} \right)$ содержит 2 строки и 4 столбца. Разные способы записи матриц: показать\скрыть Матрица может быть записана не только в круглых, но и в квадратных или двойных прямых скобках. Т.е., указанные ниже записи означают одну и ту же матрицу:
$$
\left(\begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right);\;\;
\left[ \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right]; \;\;
\left \Vert \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right \Vert
$$ Произведение $m\times n$ называют размером матрицы
. Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера $5\times 3$. Матрица $\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ имеет размер $3 \times 2$. Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: $A$, $B$, $C$ и так далее. Например, $B=\left(\begin{array} {ccc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)$. Нумерация строк идёт сверху вниз; столбцов - слева направо. Например, первая строка матрицы $B$ содержит элементы 5 и 3, а второй столбец содержит элементы 3, -87, 0. Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы $A$ обозначаются $a_{ij}$. Двойной индекс $ij$ содержит информацию о положении элемента в матрице. Число $i$ - это номер строки, а число $j$ - номер столбца, на пересечении которых находится элемент $a_{ij}$. Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы $A=\left(\begin{array} {cccccc} 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end{array} \right)$ расположен элемент $a_{25}=59$: Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент $a_{11}=51$; на пересечении третьей строки и второго столбца - элемент $a_{32}=-15$ и так далее. Замечу, что запись $a_{32}$ читается как "а три два", но не "а тридцать два". Для сокращённого обозначения матрицы $A$, размер которой равен $m\times n$, используется запись $A_{m\times n}$. Можно записать и несколько более развёрнуто:
$$ A_{m\times n}=(a_{ij}) $$
где запись $(a_{ij})$ означает обозначение элементов матрицы $A$. В полностью развёрнутом виде матрицу $A_{m\times n}=(a_{ij})$ можно записать так:
$$
A_{m\times n}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array} \right)
$$
Введём еще один термин - равные матрицы
. Две матрицы одинакового размера $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называются равными
, если их соответствующие элементы равны, т.е. $a_{ij}=b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$. Пояснение к записи $i=\overline{1,m}$: показать\скрыть Запись "$i=\overline{1,m}$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=\overline{1,5}$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5. Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов. Например, матрица $A=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ не равна матрице $B=\left(\begin{array}{cc} 8 & -9\\0 & -87 \end{array}\right)$, поскольку матрица $A$ имеет размер $3\times 2$, а размер матрицы $B$ составляет $2\times 2$. Также матрица $A$ не равна матрице $C=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$, поскольку $a_{21}\neq c_{21}$ (т.е. $0\neq 98$). А вот для матрицы $F=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ можно смело записать $A=F$ поскольку и размеры, и соответствующие элементы матриц $A$ и $F$ совпадают. Пример №1 Определить размер матрицы
$A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\
5 & 9 & -8 \\
-6 & 8 & 23 \\
11 & -12 & -5 \\
4 & 0 & -10 \\
\end{array} \right)$. Указать, чему равны элементы $a_{12}$, $a_{33}$, $a_{43}$. Данная матрица содержит 5 строк и 3 столбца, поэтому размер её $5\times 3$. Для этой матрицы можно использовать также обозначение $A_{5\times 3}$. Элемент $a_{12}$ находится на пересечении первой строки и второго столбца, поэтому $a_{12}=-2$. Элемент $a_{33}$ находится на пересечении третьей строки и третьего столбца, поэтому $a_{33}=23$. Элемент $a_{43}$ находится на пересечении четвертой строки и третьего столбца, поэтому $a_{43}=-5$. Ответ
: $a_{12}=-2$, $a_{33}=23$, $a_{43}=-5$. Пусть задана некая матрица $A_{m\times n}$. Если $m=1$ (матрица состоит из одной строки), то заданную матрицу называют матрица-строка
. Если же $n=1$ (матрица состоит из одного столбца), то такую матрицу называют матрица-столбец
. Например, $\left(\begin{array} {ccccc} -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end{array} \right)$ - матрица-строка, а $\left(\begin{array} {c} -1 \\ 5 \\ 6 \end{array} \right)$ - матрица-столбец. Если для матрицы $A_{m\times n}$ верно условие $m\neq n$ (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что $A$ - прямоугольная матрица. Например, матрица $\left(\begin{array} {cccc} -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end{array} \right)$ имеет размер $2\times 4$, т.е. содержит 2 строки и 4 столбца. Так как количество строк не равно количеству столбцов, то эта матрица является прямоугольной. Если для матрицы $A_{m\times n}$ верно условие $m=n$ (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что $A$ - квадратная матрица порядка $n$. Например, $\left(\begin{array} {cc} -1 & -2 \\ 5 & 9 \end{array} \right)$ - квадратная матрица второго порядка; $\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end{array} \right)$ - квадратная матрица третьего порядка. В общем виде квадратную матрицу $A_{n\times n}$ можно записать так:
$$
A_{n\times n}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{array} \right)
$$
Говорят, что элементы $a_{11}$, $a_{22}$, $\ldots$, $a_{nn}$ находятся на главной диагонали
матрицы $A_{n\times n}$. Эти элементы называются главными диагональными элементами
(или просто диагональными элементами). Элементы $a_{1n}$, $a_{2 \; n-1}$, $\ldots$, $a_{n1}$ находятся на побочной (второстепенной) диагонали
; их называют побочными диагональными элементами
. Например, для матрицы $C=\left(\begin{array}{cccc}2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end{array}\right)$ имеем: Элементы $c_{11}=2$, $c_{22}=9$, $c_{33}=4$, $c_{44}=6$ являются главными диагональными элементами; элементы $c_{14}=1$, $c_{23}=8$, $c_{32}=0$, $c_{41}=-4$ - побочные диагональные элементы. Сумма главных диагональных элементов называется следом матрицы
и обозначается $\Tr A$ (или $\Sp A$):
$$ \Tr A=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn} $$
Например, для матрицы $C=\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\-4 & -9 & 5 & 6 \end{array}\right)$ имеем:
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Понятие диагональных элементов используется также и для неквадратных матриц. Например, для матрицы $B=\left(\begin{array} {ccccc} 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & -7 & -6 \end{array} \right)$ главными диагональными элементами будут $b_{11}=2$, $b_{22}=-9$, $b_{33}=4$. Если все элементы матрицы $A_{m\times n}$ равны нулю, то такая матрица называется нулевой
и обозначается обычно буквой $O$. Например, $\left(\begin{array} {cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$, $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - нулевые матрицы. Пусть матрица $A_{m\times n}$ имеет такой вид: Тогда данную матрицу называют трапециевидной
. Она может и не содержать нулевых строк, но уж если они есть, то располагаются в низу матрицы. В более общем виде трапециевидную матрицу можно записать так: Повторюсь, наличие нулевых строк в конце не является обязательным. Т.е. формально можно выделить такие условия для трапециевидной матрицы: Примеры трапециевидных матриц: Перейдём к следующему определению. Матрицу $A_{m\times n}$ называют ступенчатой
, если она удовлетворяет таким условиям: Например, ступенчатыми матрицами будут: Для сравнения, матрица $\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$ не является ступенчатой, поскольку у третьей строки нулевая часть такая же, как и у второй строки. Т.е., нарушается принцип "чем ниже строка - тем больше нулевая часть". Добавлю, что трапециевидная матрица есть частный случай ступенчатой матрицы. Перейдём к следующему определению. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют верхней треугольной матрицей
. Например, $\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)$ - верхняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении верхней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных над главной диагональю или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, - это несущественно. Например, $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - тоже верхняя треугольная матрица. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют нижней треугольной матрицей
. Например, $\left(\begin{array} {cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \end{array} \right)$ - нижняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении нижней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных под или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, - это неважно. Например, $\left(\begin{array} {ccc} -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end{array} \right)$ и $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - тоже нижние треугольные матрицы. Квадратная матрица называется диагональной
, если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Пример: $\left(\begin{array} {cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)$. Элементы на главной диагонали могут быть любыми (равными нулю или нет), - это несущественно. Диагональная матрица называется единичной
, если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1. Например, $\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ - единичная матрица четвёртого порядка; $\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$ - единичная матрица второго порядка.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="image043" width="81 height=44" height="44"> 0=
Матрицы, основные определения
(1)
Решить задачу на матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение
,
,Применение матриц в математико-экономическом моделировании
Определение матрицы и её элемента. Обозначения.
Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.
Виды матриц в зависимости от значений их элементов.
